Dinámica orbital de una partícula bajo el campo gravitatorio de una corona circularaplicación a planetas con anillos

Abstract

Un planeta se forma por la acumulación de partículas de materia de una estrella gracias a la atracción gravitacional mutua existente entre las partículas. Parte del material orbitando el protoplaneta actúa de la misma manera formando sus lunas. Sin embargo, si la materia alrededor del planeta orbita a poca distancia, dentro del llamado Límite de Roche, las partículas están sujetas a fuerzas de marea superiores a la fuerza de atracción gravitatoria entre las partículas. Esto impide que no puedan agruparse dando lugar a un cuerpo mayor dentro de este límite. Los anillos planetarios, formados por millones de pequeñas rocas y partículas de hielo, cada una mantenimiento su propia órbita alrededor del planeta, se encuentran dentro de estos límites de Roche. Por tanto en estas regiones es imposible que crezca algúnn cuerpo por coalescencia de partículas más pequeñas porque serían disgregados por los efectos de la fuerza de marea. Los planetas exteriores del sistema Solar, y probablemente muchos de los planetas extrasolares, tienen anillos. Encontramos en la literatura diversos autores que han estudiado la dinámica alrededor de estos planetas con anillos, Maxwell (1859) propuso un modelo para los anillos de Saturno considerando una configuración plana de n + 1 cuerpos. Este modelo ha sido ampliamente estudiado por otros autores como por ejemplo: Llibre (1994), Kalvouridis (1999), Scheeres (1999) y Elipe (2007), con especial interés en el estudio de la estabilidad de las configuraciones de equilibrio. Además de estos estudios sobre los anillos planetarios encontramos en la Mecánica Celeste otros problemas en cuya formulación aparecen también anillos, como el cinturón de Asteroides del Sistema Solar que puede ser aproximado por un anillo continuo, o el problema de la determinación de la perturbación producida por un tercer cuerpo, Gauss (1981). Estos son sólo algunos ejemplos que motivaron estudios anteriores sobre la dinámica de una partícula que orbita alrededor de un anillo. Estos trabajos se basan en la descripción del potencial gravitatorio creado por el anillo, pero siempre considerando como modelo un anillo formado por una sucesión finita de partículas, o un cable circular sin grosor. El objetivo de esta tesis es extender estos trabajos al caso de una corona circular plana en vez de un anillo, aproximando de forma más precisa la realidad de los anillos que podemos encontrar en los planetas de nuestro Sistema, como los de Saturno, que se extienden cientos de kilómetros alrededor del cuerpo. Extender a este nuevo modelo, aunque sencillo en su planteamiento, conlleva bastantes dificultades en el tratamiento de las expresiones que describen este potencial, que incluyen distintas especies de integrales elípticas. Encontramos en la literatura trabajos de Krough, Ng y Zinder (1982), y Lass y Blitzer (1983), en los que se dan expresiones matemáticamente correctas para estas funciones pero que no sirven para su evaluación numérica por las singularidades existentes. Por tanto, la primera parte de la tesis la hemos basado en el estudio del potencial creado por la corona circular, mediante el análisis de sus propiedades y el trabajo con las funciones elípticas, lo que nos han permitido reescribir las complejas expresiones de la función potencial de manera que obtenemos una correcta evaluación numérica del mismo, y de sus derivadas sucesivas necesarias para el cómputo de órbitas periódicas. En la segunda parte de la tesis se presenta el estudio de la dinámica de una partícula orbitando la corona, para ello realizamos un primer estudio de los equilibrios del sistema, para posteriormente calcular las semillas de órbitas periódicas y la continuación de las familias a las que pertenecen. Para estos cómputos numéricos se han desarrollado distintas herramientas cuya descripción se detalla en la tesis. Para el cálculo de las condiciones iniciales de las órbitas usamos un programa de representación de Secciones de Poincaré, y el programa Zeros basado en el uso de estrategias de evolución para la minimización de funciones. Para el cálculo de las familias periódicas usamos el método de continuación basado en el algoritmos de Henrard y Deprit (1967), y el método de continuación de mapas de Poincaré. Además estos métodos nos dan información sobre la estabilidad lineal de las familias de órbitas, de esta manera obtenemos una descripción global de la dinámica alrededor de la corona. Por último, se hace una extensión de estos resultados a un modelo más realista, en que vamos a considerar un planeta circular rodeado por una corona circular plana. Detallando los cambio en la dinámica que se obtienen al incluir un cuerpo central. Además se estudia como afectaría el considerar un coeficiente de achatamiento para el planeta, y una partición de la corona en dos más pequeñas con un hueco entre ambas. Para el modelo de planeta achatado con corona, se presenta un análisis de las familias de órbitas periódicas encontradas, incluyendo órbitas en el espacio, que se encuentran por resonancias entre la velocidad orbital de la partícula en el plano meridional y la velocidad de rotación de este plano. En conclusión, tanto para el problema de la dinámica alrededor de la corona como en el caso de la corona y el cuerpo central, hemos aplicado los métodos de búsqueda y continuación de familias de órbitas periódicas, y hemos determinado la estabilidad lineal de dichas familias, así como sus bifurcaciones. Obteniendo de este modo una visión de cómo se estructura la dinámica alrededor de estos cuerpos, de qué posiciones son más estables y por tanto adecuadas para el emplazamiento de un satélite artificial para su observación, y de cuál sería la evolución de esas órbitas a largo plazo. Estos modelos matemáticos relativamente sencillos constituyen una primera aproximación para posteriores estudios de sistemas dinámicos más complejos, ya que las conclusiones que podemos extraer de la estructura de su espacio fásico son genéricos, y por tanto de interés en el contexto de modelos que se ajusten de manera más fiel a la realidad física del problema.