Cuerdas y no conmutatividad

Resumen

Los conceptos geométricos clásicos que usan las ecuaciones de Einstein para describir el espacio, el tiempo y la gravedad no son compatibles con los principios de la mecánica cuántica. A distancias muy cortas, cercanas a la longitud de Planck, se espera que la estructura del espacio-tiempo se haga difusa, con un principio de incertidumbre asociado a las propias coordenadas espacio temporales. Tal principio de incertidumbre podría derivarse de relaciones de conmutación no triviales entre operadores asociados a la posición en el espacio-tiempo. Conmutadores de este tipo aparecen de manera natural en teoría de cuerdas, que, por otra parte, contiene y generaliza las ecuaciones de Einstein. Constituye por ello un escenario idóneo para el estudio de la naturaleza no determinista del espacio-tiempo. En efecto, Chu y Ho [Nucl. Phys. B550 (1999)] demostraron que la cuantización canónica de la cuerda abierta en espacio-tiempo de Minkowski con 2-forma B y dilatón constantes conduce a conmutadores no triviales entre los operadores de posición de los extremos de la cuerda. Este hecho sugiere la interpreción de la D-brana sobre la que pueden moverse dichos extremos como un espacio no conmutativo. Seiberg y Witten [JHEP 09 (1999)] dieron un paso más y encontraron un límite de baja energía bien definido en el cual la dinámica de los extremos de la cuerda se desacopla de la de los modos internos y se describe como una teoría de Yang-Mills no conmutativa sobre la D-brana. Es díficil trasladar estos resultados a backgrounds más generales para la cuerda. Los modelos de Wess-Zumino-Witten (WZW) constituyen los backgrounds no triviales mejor conocidos, pero no se conoce una caracterización completa de las D-branas en estos modelos. El objetivo de esta tesis es mejorar la comprensión del origen de no conmutatividad a partir de (i) el estudio de la cuerda abierta en backgrounds no triviales y (ii) la caracterización de las D-branas sobre las que pueden moverse sus extremos. En la primera parte de esta tesis cuantizamos canónicamente la cuerda abierta en un background con métrica de tipo onda pp con 2-forma y dilatón constantes. Se obtiene que los operadores de posición no conmutan, no sólo en los extremos de la cuerda sino también en los puntos intermedios. Se muestra así que la no conmutatividad no se restringe a la D-brana sobre la que se mueven los extremos, sino que se extiende a todo el espacio-tiempo. En el límite en que la métrica pp considerada se reduce a la de Minkowski, se recuperan los resultados de la literatura y la no conmutatividad se limita a los extremos. Los modelos de WZW cerrados pueden describirse convenientemente en términos de las corrientes quirales. Para extender esta descripción a los modelos de WZW abiertos es necesario escribir la condición de contorno para la cuerda abierta también en términos de las corrientes. Para ello se ha propuesto una condición, conocida como de pegado, que relaciona las corrientes quirales a izquierdas y a derechas a través de una aplicación lineal F que actúa sobre el álgebra de Lie del modelo. Para que una condición de pegado defina una D-brana, debe ser equivalente a una condición de contorno. En la segunda parte de esta tesis estudiamos en detalle las condiciones necesarias para que se dé esta equivalencia y aplicamos nuestro análisis a condiciones de pegado dadas por isometrías de la forma F=R y F=-R, con R un automorfismo constante del álgebra de Lie. Para F=R, se recupera el resultado conocido de que las D-branas son las clases de conjugación R-twined. Para F=-R y modelos semisimples, demostramos que las correspondientes condiciones de pegado no pueden describir D-branas. Empleamos estas mismas técnicas para encontrar D-branas a partir de condiciones de pegado en el modelo de Nappi-Witten, arquetipo de modelo de WZW no semisimple, considerando diversas isometrías F.