Laminacións afables

Resumo

Las laminaciones definidas a partir de mosaicos aperiódicos y repetitivos del plano son un ejemplo interesante de laminaciones transversalmente Cantor construidas mediante acciones de grupos de Lie. El estudio de sus propiedades dinámicas y ergódicas resulta relevante en la descripción teórica de los sólidos casi-cristalinos. El objetivo de la tesis es probar un resultado que caracteriza la dinámica transversa de este tipo de laminaciones. En el caso de los ejemplos más relevantes de la teoría de mosaicos aperiódicos, los mosaicos de Penrose por dardos y cometas [9] y los mosaicos de Robinson [10], gracias a una idea de R. M. Robinson [8], se sabe que la dinámica transversa medible está representada por la relación cofinal sobre sendos espacios de sucesiones binarias. Así mismo, T. Giordano, I. Putnam y C. Skau han probado en [6] que cualquier relación de equivalencia definida por un sistema dinámico de este tipo es orbitalmente equivalente a una relación afable, es decir, a un límite inductivo de subrelaciones de equivalencia finitas. En estos términos, el objetivo presentado consiste en probar el siguiente teorema: Teorema 1. La dinámica transversa de la envoltura de un mosaico aperiódico y repetitivo del plano es afable. Anunciado en [1], este teorema ha sido demostrado en un contexto equivalente por T. Giordano, H. Matui, I. Putnam y C. Skau en [4] al probar que toda acción libre y minimal de Z^2 sobre un conjunto de Cantor es afable. Para ello, los autores combinan fuertes argumentos de convexidad con un importante resultado de extensión de relaciones afables, denominado teorema de absorción, que prueban en [5]. El propósito es mostrar una prueba diferente introduciendo un proceso de inflación especial, similar al que se usa para construir los mosaicos de Robinson. Esta nueva demostración sigue usando el teorema de absorción, pero no precisa de ningún argumento de convexidad. La pretensión es avanzar hacia la prueba de la siguiente conjetura formulada por T. Giordano, I. Putnam y C. Skau en [7]: Conjetura 1. Toda acción libre y minimal de un grupo promediable sobre un espacio totalmente disconexo compacto define una relación afable. En nuestro contexto, esta conjetura admite otra intermedia: Conjetura 2. Toda laminación transversalmente Cantor con crecimiento polinomial es afable. De hecho, como el proceso de inflación descrito en [2] sigue siendo válido para las laminaciones transversalmente Cantor según [1], hemos podido avanzar en esa dirección usando el mismo esquema de la demostración del teorema 1: Teorema 2. La dinámica transversa medible de cualquier laminación transversalmente Cantor, minimal y sin holonomía con crecimiento polinomial está representada por una acción de Z. Referencias: [1] F. Alcade Cuesta, P. González Sequeiros, Á. Lozano Rojo, Affability of Euclidean tilings. C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I, 347 (2009), 947-952. [2] F. Alcalde Cuesta, Á. Lozano Rojo, M. Macho Stadler. Transversely Cantor laminations as inverse limits. Proc. Amer. Math. Soc., 139 (2011), 2615-2630. [3] Bellissard, R. Benedetti, J.M. Gambaudo, Spaces of Tilings, Finite Telescopic Approximations and Gap-Labelling. Comm. Math. Phys., 261 (2006), 1-41. [4] T. Giordano, H. Matui, I. Putnam, C. Skau, Orbit equivalence for Cantor minimal Z^2-systems. J. Amer. Math. Soc., 21 (2008), 863-892. [5] T. Giordano, H. Matui, I. Putnam, C. Skau, The absorption theorem for affable equivalence relations. Ergodic Theory Dynam. Systems, 28 (2008), 1509-1531. [6] T. Giordano, I. Putnam, C. Skau, Topological orbit equivalente and C*-crossed products. J. reine angew. Math., 469 (1995), 51-111. [7] T. Giordano, I. Putnam, C. Skau, Affable equivalence relations and orbit structure of Cantor minimal systems. Ergodic Theory Dynam. Systems, 24 (2004), 441-475. [8] B. Grünbaum, G. C. Shephard, Tilings and Patterns. W. H. Freeman & Co., New York, 1987. [9] R. Penrose, The role of aesthetics in pure and applied mathematical research. Bull. Inst. Math. Appl., 10 (1974), 266-271. [10] R. M. Robinson, Undecidability and Nonperiodicity of Tilings of the Plane. Inventiones Math., 12 (1971), 177-209.