Numerical methods to price interest rate derivatives based on libor market model for forward rates

Resum

Los modelos de evolución de los tipos de interés son necesarios para valorar productos derivados de tipos y dependen de parámetros o funciones que se ajustan en base a ciertos productos que cotizan en mercado. En 1997, Brace, Gatarek y Musiela introducen el Libor Market Model (LMM) para los tipos forward de LIBOR. La ventaja de este modelo frente a los más clásicos es la observabilidad de los tipos forward en mercado y la calibración con productos que cotizan. En esta tesis se han planteado modelos de ecuaciones en derivadas parciales dentro del marco del LMM para valorar determinados productos derivados de tipos de interés, cuyos subyacentes son los tipos forward de LIBOR. En concreto, se valoraron contratos de tipo ratchet cap y rate based spread options. Una vez propuestos los modelos que rigen los precios de dichos productos financieros, se estudió la unicidad, existencia y regularidad de solución de los mismos así como algunas propiedades cualitativas. Para su resolución se utilizaron diversos métodos numéricos. En particular, el método de características Crank-Nicolson Lagrange Galerkin, técnicas de Monte Carlo y se obtuvo una expresión semianalítica utilizando soluciones fundamentales. Por último, se realizaron distintos tests académicos para chequear los métodos numéricos así como ejemplos de valoración de productos derivados cuyos datos eran tomados del mercado. Además, se realizó una comparativa de los tiempos de computación para todos los métodos numéricos considerados. En la última parte de la tesis, se propuso un modelo matemático para valorar contratos de tipo stock loan y se realizó el correspondiente análisis numérico. La valoración de un producto de este tipo implica resolver un problema de frontera libre y por tanto, no se engloba en la teoría clásica para ecuaciones de derivadas parciales que se utilizaba en la primera parte de la tesis. Se demostró la existencia y unicidad de solución así como la regularidad óptima de la solución en el espacio de las funciones con crecimiento polinomial. El método numérico empleado para valorar stock loans es el método de elementos finitos mediante el cual se reprodujeron ejemplos de valoración con datos reales, obteniendo buenos resultados y recuperando propiedades cualitativas demostradas teóricamente en la literatura.