Brinkmann and lorentzian second-order symmetric spaces

Resumen

El interés que suscitan las variedades lorentzianas segundo-simétricas es el siguiente. En Geometría Diferencial existe un venerable resultado enunciado de la siguiente manera: para una variedad riemanniana (M,g), la anulación de la r-ésima derivada covariante del tensor curvatura R implica la anulación de la primera, esto es, (M,g) es localmente simétrica. Pero cuando (M,g) es una variedad lorentziana, esto no necesariamente es así. Por tanto, la anulación de la r-ésima derivada covariante del tensor curvatura R conduce a una escalera jerárquica de generalizaciones naturales de los espacios semi-riemannianos localmente simétricos. Y es con r=2 cuando aparecen los arriba mencionados espacios segundo-simétricos.¿No obstante, con anterioridad al trabajo de Senovilla [1] no existe estudio alguno de los espacios segundo-simétricos. Los objetivos de la tesis se han centrado en los aspectos locales de la geometría de los espaciotiempos. En general, se encuadran en los temas: 1) Clasificación de variedades lorentzianas con simetrías notables. 2)Análisis de las soluciones a las ecuaciones de Einstein. Partiendo de la existencia de un vector luminoso paralelo en una variedad lorentziana segundo-simétrica (resultado obtenido en [1]), se ha demostrado que estas últimas son localmente isométricas al producto de dos variedades, una de las cuales es una variedad riemanniana simétrica no llana y la otra es un espacio propio de Cahen-Wallach generalizado de orden 2. Para clasificar los espacios lorentzianos simétricos de segundo orden en dimensión arbitraria se han usado técnicas de separación de ecuaciones en derivadas parciales y de estudio de los espacios localmente simétricos lorentzianos. Esta clasificación supone la parte esencial de la tesis. Fortuitamente, este problema ha implicado un estudio geométrico detallado tanto local como global de los espacios de Brinkmann. Este estudio ha originado diferentes herramientas técnicas para algunas clases de ecuaciones en derivadas parciales, que podrían tener interés por si mismas. Referencias bibliográficas [1] José M.M. Senovilla,Class. Quant.Grav. 25 (2008) [2] O.F. Blanco, M. Sánchez, J.M.M. Senovilla, Journal of Physics:conference series, 229, 2010 [3] O.F. Blanco, M. Sánchez, J.M.M. Senovilla, Journal of Physics:conference series, 314, 2011 [4] José M.M. Senovilla, Class. Quant.Grav. 17 (2000) 2799-2842 [5] José M.M. Senovilla, Class. Quant.Grav. 23 (2006) 7143-7148 [6] Cartan, Bull.Soc.Math.France, 1926 [7] Cartan, Bull.Soc.Math.France, 1927 [8] S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups and symmetric spaces, American Mathematical Society, 1978 [9] A.L. Besse, Eistein manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 1987 [10] M. Cahen and N. Wallach, Lorentzian symmetric spaces, Bull. Amer.Math. Soc, 1970 [11] M. Cahen and M. Wallach, Pseudo-Riemannian symmetric spaces, Mem. Amer.Math. Soc, 1980