Interpretación proyectiva de las geometrías métricas, equiformes e inversivas

Zusammenfassung

La estructura de espacio afín métrico se define usualmente mediante cuatro objetos: un conjunto, un espacio vectorial real, una acción del espacio vectorial sobre el conjunto y una forma bilineal simétrica sobre el espacio vectorial, siendo el último objeto el que determina la métrica del espacio, Un espacio afín métrico en el cual la forma bilineal es definida positiva, es un modelo de la geometría euclídea, pero existen otras geometrías métricas, la elíptica y la hiperbólica, que no encajan en el modelo afín métrico, aunque si lo hacen otras geometrías derivadas de la física como las de Galileo, Lorentz o Minkowski. Por otra parte y desde el punto de vista de Klein, una geometría y en particular la geometría afín métrica es también el conjunto de propiedades invariantes por la acción de determinado grupo de transformaciones en un espacio. Las geometrías se pueden jerarquizar por el tamaño de sus grupos de transformaciones, un grupo muy grande da lugar a pocas propiedades geométricas y un proceso de especialización, es decir de reducción del grupo, aumenta las propiedades considerables como geométricas. En nuestro caso, estamos interesados en ángulos y distancias absolutas, y el grupo a considerar es el de movimientos. Pero en el caso de que nuestro interés se centrase en ángulos y distancias relativas, se trataría del grupo equiforme y si estuviésemos interesados solamente en los ángulos usaríamos el grupo inversivo o conforme. Cada uno de estos grupos es mayor que el anterior, es decir se refleja perfectamente el proceso de especialización del que hablábamos arriba. Sin embargo la idea de que todas las Geometrías pueden ser obtenidas en un orden lineal unas a partir de otras mediante procesos de especialización o generalización es falsa ya que no es posible ordenar linealmente los grupos de transformaciones de las Geometrías no euclídeas y euclídeas. Como alternativa y siguiendo la idea de Cayley podemos plantearnos la pregunta de si todas las Geometrías son especializaciones de la Geometría Proyectiva. La pregunta tiene considerable interés práctico. Usando la estructura de espacio afín métrico en la forma descrita en el primer párrafo, los grupos de movimientos y equiforme se representan como grupos matriciales, sin embargo el grupo conforme no tiene una representación lineal, y lo mismo sucede con los grupos similares para las Geometrías no euclídeas. Si pudiéramos alcanzar el objetivo de Cayley, todos los grupos de transformaciones geométricas serían subgrupos del grupo proyectivo, y en consecuencia admitirían representaciones lineales proyectivas. Usualmente se presenta el espacio afín como el complementario de un hiper\-plano en el espacio proyectivo, el hiperplano el infinito, pero eso fuerza a considerar la métrica, en el caso afín métrico, como un objeto en el infinito, sin embargo las Geometrías no euclídeas se describen en el interior de una cuádrica proyectiva y no es claro, cuando no es erróneo, el proceso de paso al límite descrito en los textos clásicos para pasar de las Geometrías no euclídeas a la euclídea. De modo que esta forma de trabajar no es satisfactoria. El trabajo clásico de Cayley que representa los espacios métricos como cuádricas, via la proyección estereográfica, se limita al cuerpo real y a dimensio\-nes dos y tres y usa una noción sumamente imprecisa de espacio proyectivo, ya que al no poder usar las razones dobles para representar las coordenadas, y trabajar con métodos analíticos usa las coordenadas, asociadas todavía a una métrica, para introducir la métrica en el proyectivo. Pero su idea básica es utilizable desde el enfoque moderno de la Geometría. En este trabajo presenta\-mos un estudio sistemático de las representaciones de los espacios afines métricos desde un punto de vista proyectivo. Mostramos que la forma natural de presentar un espacio afín métrico es mediante un espacio proyectivo especializado con la adjunción de una cuádrica. Esta representación es intrínseca ya que la cuádrica que se adjunta viene dada por los ciclos que caracterizan dicha estructura métrica. Por lo tanto, clasificar las Geometrías Métricas es lo mismo que clasificar cuádricas proyectivas. En este contexto, se pueden definir razones trigonométricas o funciones exponenciales de forma sencilla mediante razones dobles para cualquier cuerpo base. Además, de esta forma, las transformaciones conformes (inversivas) se representan mediante grupos de matrices. Estas trans\-formaciones son importantes también en la física ya que son las que describen la Geometría de Lorentz en espacios de Minkowski. Por otra parte, en este trabajo también trasladamos el esquema: Grupo conforme - Transformaciones de Moebius - Proyectividades de la recta proyectiva compleja, a situaciones mas generales. Estudiamos las estructuras de las álgebras finito-dimensionales sobre cuerpos. Definimos con precisión las rectas proyectivas sobre álgebras con divisores de cero y se demuestran resultados como un Teorema de Staudt para dichas rectas proyectivas, que permiten determinar la estructura de los grupos proyectivos de espacios de dimension uno sobre algebras finito dimensionales. Para Algebras de dimensión dos se demuestra que la representación de los espacios métricos mediante cuádricas y mediante rectas proyectivas sobre álgebras es totalmente equivalente sea cual sea el cuerpo base. Sin embargo, para dimensiones mayores, la pérdida de propiedades como la conmutatividad o asociatividad de las álgebras hace que el estudio se complique sobremanera, perdiéndose las ventajas de una representación de la métrica mediante álgebras.