Estudio sobre superficies de kummer en p3

Abstract

SEA K UN CUERPO ALGEBRAICAMENTE CERRADO DE CARACTERISTICA DISTINTA DE 2, UNA SUPERFICIE DE KUMMER S EN P3 ES UNA SUPERFICIE CUARTICA CON 16 NODOS. LOS 16 NODOS JUNTO CON LOS 16 PLANOS CORRESPONDIENTES A LOS 16 NODOS DE LA SUPERFICIE DUAL FORMAN UNA CONFIGURACION (16,6) EN P3, QUE DETERMINA LA SUPERFICIE DE KUMMER DE MODO UNICO. ESTUDIAMOS (Y CLASIFICAMOS) SUPERFICIES DE KUMMER DANDO ECUACIONES EXPLICITAS Y DESCRIPCION EXPLICITA DE SUS SINGULARIDADES; LO HACEMOS ESTUDIANDO CONFIGURACIONES (16,6), ESPECIALMENTE LAS QUE DENOMINAMOS NO DEGENERADAS. PROBAMOS QUE TODA CONFIGURACION (16,6) NO DEGENERADA DE PUNTOS Y PLANOS EN P3 ES LA CONFIGURACION ASOCIADA A UNA SUPERFICIE DE KUMMER. EL ESPACIO DE MODULI DE LAS SUPERFICIES DE KUMMER ES EL COCIENTE DE UN ABIERTO U DE P3 (DESCRITO EXPLICITAMENTE) POR EL NORMALIZADOR N DE F DE . ESTUDIAMOS LAS RELACIONES DE S CON SU DESINGULARIZACION MINIMAL X, QUE ES UNA SUPERFICIE K3 Y CON LAS SUPERFICIES ABELIANAS. DETERMINAMOS LOS POSIBLES NUMEROS DE PICARD PARA S Y PARA X. SI S TIENE NUMERO DE PICARD, (S)=1, TODAS LAS CURVAS SON DE GRADO PAR, Y DAMOS UNA CLASIFICACION COMPLETA DE LAS CURVAS IRREDUCIBLES NO SINGULARES SOBRE S. NUESTRO METODO ES LEVANTAR ESTAS CURVAS A LA DESINGULARIZACION MINIMAL X. SI (S) 1, PUEDEN EXISTIR CURVAS DE GRADO IMPAR. ESTUDIAMOS TAMBIEN EL HAZ NORMAL DE CURVAS SOBRE S, (S)=1, EN PARTICULAR PARA CURVAS DE GRADO 8 Y GENERO 5. EXPLICAMOS POR QUE LA CONSTRUCCION DE BARTH RELACIONANDO ESTAS CURVAS CON EL FIBRADO VECTORIAL DE HORROCKS-MUMFORD NO ES VALIDA PARA UNA CURVA GENERICA.