Métodos geométricos para aproximar raíces de polinomios, con aplicaciones a procesamiento de señal

Résumé

Los polinomios tienen una larga historia en matemáticas, ciencia e ingeniería. Es conocido que las raíces de polinomios de grado 2, 3 y 4 pueden obtenerse con ciertas fórmulas, y que no existen (usando radicales) para grados superiores. En la práctica se recurre a métodos numéricos para aproximar raíces. Los polinomios que aparecen en aplicaciones científicas y de ingeniería pueden ser de grado superior al centenar, por ejemplo en procesamiento digital de señal . Los métodos se pueden clasificar en iterativos y geométricos. Los iterativos están basados en una sucesión de estimaciones de error y corrección que conduce a un punto del plano complejo tan cerca de una raíz como se quiera. Estos métodos son rápidos (convergencia más que lineal) y su análisis, es decir, la prueba de su corrección como algoritmo y la determinación de los recursos necesarios, se basa en técnicas numéricas bien conocidas. Por el contrario, los métodos geométricos se basan en la distribución de raíces en el plano complejo. Por ejemplo, acotan el módulo de las raíces, o las separan (es decir, definen regiones del plano que contienen precisamente una raíz). Sin embargo los métodos iterativos no son fácilmente aplicables en la práctica a los polinomios que aparecen en las aplicaciones de procesamiento de señal. El objetivo de esta tesis es desarrollar, analizar y comparar un método geométrico de cálculo de raíces adecuado para polinomios de alto grado. Se basa en el índice de curvas planas (el número de vueltas).