Estimación a posteriori del error y adaptación de mallado para formulaciones mixtas de problemas elípticos y parabólicos

Résumé

RESUMEN: Las estimaciones a-posteriori son una herramienta fundamental para el diseño de algoritmos adaptativos eficientes para la aproximación numérica de EDPs. Los métodos adaptativos de elementos finitos (AFEM) se basan en un bucle del tipo, RESOLVER -> ESTIMAR -> MARCAR -> REFINAR / DESREFINAR Si además, el problema es evolutivo, es necesario realizar un control sobre el paso de tiempo. Por otro lado, en muchas aplicaciones es conveniente el uso de formulaciones mixtas puesto que permiten aproximar directamente determinadas derivadas de la solución. En esta memoria se construyen AFEM para la formulación mixta del problema elíptico y parabólico, ambos lineales. En el caso elíptico, el algoritmo propuesto está basado en una iteración de tipo Uzawa para la actualización de la variable escalar y en un método adaptativo para el cálculo del gradiente de la solución de la EDP. La clave para la construcción de este algoritmo es un estimador a-posteriori para el operador, A - \nabla \div, con A matriz simétrica y definida positiva, que ha sido desarrollado en este trabajo. El principal resultado de esta primera parte es la convergencia del método propuesto, es decir, fijada una tolerancia, esta se alcanza en un número finito de pasos. Los ejemplos numéricos muestran la eficiencia de nuestro algoritmo. En el caso parabólico, usando técnicas de dualidad se obtiene una estimación a-posteriori para la formulaci\'on mixta. La información proporcionada por el estimador permite construir un algoritmo adaptativo en espacio y tiempo. De nuevo, los ejemplos numéricos muestran la eficiencia y fiabilidad del método propuesto. En las simulaciones numéricas se ha empleado la librería de elementos finitos ALBERT a la que se han añadido importantes módulos referentes al elemento de Raviart-Thomas y a los estimadores a-posteriori desarrollados. Esta i