Modelling, mathematical analysis and numerical simulation of problems related to counterparty risk and CVA

Resum

Esta tese céntrase no modelado, análise matemática e solución numérica de problemas de ecuacións en derivadas parciais para opcións europeas e americanas con risco de contrapartida. Considéranse diferentes valoracións de axustes, o máis importante dos cales é o risco de contrapartida (CVA). No modelado, a intensidade de quebra de cada contraparte xoga un papel importante. No presente traballo consideramos dúas situacíóns. Na primeira asÚlnense intensidades de quebra constantes, o cal dá lugar a modelos unidimensionais. No segundo escenario considéranse intensidades de quebra estocásticas, pero só unha contraparte pode quebrar, obtélldose un modelo de EDPs bidimensional. Obtense así un problema de valor inicial e de contorno rexido por EDPs para as opcións europeas, mentres que a valoración de opcións americanas está gobenlada por problemas de complementariedade. As dúas opcións mms habituais do valor de mercado no instante de quebra (valores sen risco e con risco) conducen a EDPs lineais e non lineais, respectivamente. A análise matemática dos modelos non lineais é un dos principais logros deste traballo, obténdose a existencia e unicidade de solución. Para a solución numérica, combínanse métodos de características, punto fixo e elementos finitos. No caso das opcións americanas, o problema discretizado é resolto mediante un método de lagrangiano aumentado. Propónse tamén formulacións equivalentes en termos de esperanzas, que son resoltas mediante técnicas adecuadas de Monte Cado. Finalmente móstranse resultados do comportamento dos modelos e dos métodos numéricos implementados.