Aspectos geométricos del flujo magnético en superficies de Riemann y su aplicación al problema de Landau-Hall

Resumen

En la primera parte de la presente memoria se efectúa un análisis geométrico del flujo magnético en superficies de Riemann y de los aspectos clásicos del problema de Landau-Hall, Comenzamos estudiando el electromagnétismo en variedades riemannianas y demostramos teoremas de anulación y existencia para campos electromagnéticos covariantemente constantes; haciendo un estudio detallado en el caso de superficies de Riemann, en las que se establece la relación existente entre las ecuaciones de Maxwell y los operadores de Cauchy-Riemann. A continuación se desarrolla una formulación del cálculo de variaciones para problemas definidos por datos locales, lo que nos prmite dar una formulación variacional de las teorías de Chern-Simons para fibrados no triviales. En el tercer capítulo se calculan las simetrías infinitesimales del problema de Landau-Hall en toda superficie de Riemann dotada de una métrica riemanniana de curvatura escalar constante. En el siguiente capítulo se estudia la formulación simpléctica del problema de Landau-Hall, construyéndose aplicaciones momento para las superficies de Riemann simplemente conexas, lo que permite demostrar, entre otros resultados, la completa integrabilidad de este sistema, la existencia de la variedad de órbitas de energía constatne en superficies simplemente conexas, con lo que podemos caracterizar las órbitas periódicas en todas las superficies de Riemann. La segunda parte de la memoria está dedicada a la formulación geométrica intrínseca de la teoría del transporte adiabático en superficies de Riemann compactas para la familia de operadores de Schrödinger parametrizada por los fibrados planos y a la determinación explícita de los fibrados espectrales y cálculo de la curvatura adiabática. Para ello se estudia la cuantización geométrica del problema de Landau-Hall y la resolución espectral del operador de Schrödinger a partir de una cadena elíptica que se c