Estabilidad de la grassmanniana de Sato. Aplicaciones al estudio del móduli de fibrados

Resumen

El estudio del móduli de fibrados se puede realizar, entre otras, con las siguientes dos técnicas: teoría geométrica de invariantes (GIT) y grassmannianas infinitas, Cabe preguntarse cómo se relacionan entre sí. Observemos que los espacios de móduli de fibrados con trivialización formal construidos a partir de la Grassmanniana Infinita, al cocientar por el grupo Sl(r,k[[z]]), permiten recuperar los obtenidos por la GIT ya que pasar al cociente equivaldría a olvidar la trivialización formal con la que se dotó al fibrado. Por ello hemos abordado el estudio de la acción del grupo especial lineal Sl(r,k[[z]]) en la Grassmanniana infinita Gr(k((z))^{\oplus r}) (siendo r>0 y k un cuerpo algebraicamente cerrado con característica 0) con especial énfasis en la interpretación de la noción de estabilidad y semiestabilidad así como la aplicación de estos resultados al caso de puntos de la Grassmanniana correspondientes a fibrados vectoriales vía la aplicación de Krichever. Concretamente los resultados expuestos en la memoria son: damos una definición de estabilidad en la Grassmanniana infinita que sea coherente con GIT e invariante por automorfismos de la Grassmanniana; con esta noción construimos cocientes geométricos en abiertos de la Grassmanniana; probamos la existencia de filtraciones de Harder-Narasimhan y de Jordan Hölder para puntos de aquella y finalizamos relacionando la teoría desarrollada con la teoría de estabilidad en fibrados vectoriales sobre curvas.