Jacobianas de Simpson de curvas singulares y su aplicación al móduli de haces estables en superficies

Résumé

El trabajo (Si) de Simpson permite definir de una forma natural una compactificación de la Jacobiana generalziada de cualquier curva proyectiva polarizada X como el espacio de haces de dimensión pura uno semiestables con rango 1 y grado d (el rango y el grado de un haz están definidos por el polinomio de Hilbert), Dependiendo de la polarización fijada en la curva X, dicho espacio de móduli posee diferentes componentes conexas como se prueba en el caso en que la curva X es la unión de dos curvas lisas que se cortan transversalmente en un punto. Los principales resultados de esta tesis son la descripción completa de la Jacobina de Simpson y de la componente conexa de su compactificación que contiene a los haces de línea semiestables de grado d para las siguientes curvas: curvas de tipo tree-like (tipo árbol) y todas las curvas reducidas y reducibles que aparecen como fibras singulares de Kodaira de una fibración elíptica, es decir, las fibras de tipos III, IV e IN. Un caso especialmente significativo es el de grado 0 pues en este caso la (semi)estabilidad de un haz no depende de la polarización fijada en la curva. Las descripciones de los esquemas de Simpson de grado 0 para las fibras de Kodaira que se dan aquí pueden permitir estudiar la estructura global de la Jacobiana de Simpson relativa de una fibración elíptica y conocer sus singularidades como variedad. Como consecuencia de estos resultados se demuestra que en curvas no íntegras el producto tensorial de haces de dimensión pura uno rango 1 semiestables no es, en general, un haz semiestable y la imagen inversa de un haz puro smiestable por un morfismo finito de curvas no íntegras tampoco es, en general, semiestable. Demostramos también que la definición de la compactificación de la Jacobina de una curva dada por Simpson generaliza otras construcciones anteriores como las dadas por Altman-Kleiman, D'Souza y Seshadri. Para las curvas estables, se prueba que