Transformadas de Fourier-Mukai para fibraciones genéricamente K3 o elípticas

Resumo

El objetivo de esta tesis es estudiar haces estables y sus espacios de móduli, usando la teoría de las transformadas de Fourier-Mukai, en esquemas fibrados genéricamente en curvas eclípticas o en superficies K3. En el caso eclíptico, encontramos algunas transformadas de Fourier-Mukai, para curvas Gorenstein de genero aritmético uno y dualizante trivial, que preservan la (semi)-estabilidad de los haces de dimensión pura. Usando estas transformadas definimos nuevos isomorfismos entre espacios de móduli de haces semiestables en este tipo de curvas. Así, para rango cero los espacios de móduli son productos simétricos de la curva, mientras que para rango positivo sólo hay un número finito de espacios no isomorfos. Análogos resultados se obtienen para los espacios de móduli relativos de haces semiestables en una fibración de genero uno arbitraria. Como caso particular estudiamos los espacios de móduli de haces semiestables en un ciclo IN de N rectas proyectivas. Mostramos que los únicos haces estables de grado cero son los haces de línea de grado cero en cada una de las componentes irreducibles de la curva, o los haces OP1 (-1) soportados en una componente irreducible. Además, demostramos que la componente irreducible del espacio de móduli que contiene a los fibrados vectoriales de rango r es isomorfa al producto simétrico r-ésimo de la curva racional con un nodo. En el caso K3, obtenemos haces estables en variedades de dimensión tres fibradas en superficies K3 usando una transformada de Fourier-Mukai. Este método permite construir haces estables, y en ocasiones fibrados vectoriales estables, en términos de datos espectrales de un modo similar a la construcción del revestimiento espectral conocida para fibraciones eclípticas. Demostramos que dichos haces son estables respecto de ciertas polarizaciones que dependen únicamente de invariantes topológicos. Además, cuando la variedad es Calabi-Yau, el móduli de haces estables obtenido con esta técnica puede ser visto como una variedad fibrada genéricamente en variedades abelianas.