Algunos Potenciales Singulares. Integrabilidad, Supersimetr a y Fluctuaciones Cu anticas

Resumen

[ES] El objetivo de esta memoria es el estudio de una serie de problemas cu anticos cuyas din amicas est an determinadas por operadores de Hamilton todos ellos con energ as potenciales singulares. En un primer tipo, trataremos sistemas de un grado de libertad, una part cula que se mueve en una recta encontrando distintas con guraciones de pozos o barreras de potencial de tipo \delta" de Dirac. En el l mite de in nitas deltas, el llamado \peine" de Dirac, encontramos una idealizaci on del modelo de Kronig-Penney [1, 2] que explica el fen omeno cu antico b asico que determina ciertas propiedades de la conducci on de carga el ectrica en metales. Es por tanto el peine de Dirac un sistema cu antico pertinente en la F sica del estado s olido, en particular ayuda en la comprensio n de la existencia de bandas de conducci on y de valencia en materiales conductores y semiconductores. Un segundo tipo de sistemas con potenciales delta de Dirac que tambi en estudiaremos abarca los modelos de Lieb-Liniger y Yang, ve ase [2, 3, 4], que describen conjuntos de N cuerpos que se mueven tambi en sobre una l nea con interacciones unicamente de contacto. Estos potenciales de tipo distribucional resultan pues de inter es en el campo de la Mec anica Estad stica. En un marco conceptualmente distinto, pues la singularidad de los potenciales se reduce a polos simples. abordaremos problemas de una part cula cargada que se mueve en un plano o en el espacio en el campo electrost atico creado por un centro o dos centros de fuerzas Coulombianos jos. No hay que insistir en la importancia que estos sistemas han tenido en el desarrollo de la Mec anica Celeste, obviamente reemplazando carga el ectrica por masa y Coulomb por Newton, en el ambito de la F sica Cl asica. En el dominio cu antico su trascendencia no ha sido menor: en el problema de Kepler-Coulomb se basa gran parte de la F sica At omica. La estructura \grosera" del espectro del atomo de hidr ogeno queda explicada mediante la resoluci on del problema de Kepler cu antico. En cuanto al problema de Euler-Coulomb su posible transcendencia en el estudio del espectro del ion molecular de hidr ogeno se remonta a Pauli [5]. La investigaci on de sistemas tan estudiados se centrar a en tres aspectos en que se obtendr an resultados de diverso alcance. Todos estos sistemas son integrables. En este terreno crucial se comparar an los distintos niveles de integrabilidad y se analizar a la relaci on entre integrabilidades de distintos tipos. Supersimetr a: Se extender an todos estos sistemas al marco supersim etrico. En un tratamiento original se propondr an distintas alternativas. Finalmente, en un salto a la Teor a Cu antica de Campos, se utilizar a el conocimiento de los problemas espectrales de una part cula en el estudio de las fuerzas de tipo Casimir generadas por las uctuaciones cu anticas sobre objetos externos modelados mediante deltas de Dirac. Detallamos a continuaci on brevemente estos tres aspectos.