Lie systems, lie symmetries and reciprocal transformations

Resumo

[ES]En esta tesis, estamos interesados en sistemas de interés físico y matemático, descritos por medio de ecuaciones diferenciales ordinarias y en derivadas parciales. Como es bien sabido, gran parte de los fenómenos naturales pueden modelizarse a través de estas ecuaciones. Por ejemplo, las cuatro ecuaciones de la Electrodinámica de Maxwell, o las ecuaciones de Einstein son ecuaciones diferenciales. Vamos a centrar nuestra investigación en dos tipos de sistemas: los llamados sistemas de Lie, muy recurrentes en la literatura, dadas sus múltiples propiedades geométricas y las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que aparecen en modelos físicos como los pertenecientes a la Mecánica de Fluidos, Física del Plasma o la Neurociencia, entre otros. Dada la importancia de los métodos geométricos en el tratamiento de ecuaciones diferenciales, vamos a formular nuestra investigación desde el punto de vista de la geometría diferencial. Un sistema de Lie es un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias y de primer orden cuya solución viene descrita mediante el llamado principio de superposición, una función de un conjunto finito de soluciones particulares y constantes. Estos principios de superposición son en general no lineales. Los sistemas de Lie forman una reducida familia dentro de todas las ecuaciones diferenciales. Sin embargo, cuentan con propiedades geométricas y algebraicas muy interesantes. Desde un punto de vista geométrico, los sistemas de Lie pueden entenderse como una curva en un álgebra de Lie--Vessiot--Guldberg, lo cual origina que su solución general pueda obtenerse a partir de una solución particular de un sistema de Lie un grupo de Lie y la acción, integrando los campos del álgebra de Vessiot--Guldberg. Es también relevante que los principios de superposicion pueden entenderse como conexiones planas. Desde el punto de vista de su aplicabilidad, muchos sistemas de Lie juegan un papel muy relevante en Física, Matemáticas, Biología y otros muchos más campos de investigación. Algunos de los sistemas de Lie más representativos son las ecuaciones de Riccati y sus múltiples variantes (ecuaciones de Riccati matriciales, ecuaciones de Riccati sobre el plano complejo, etc). Estas ecuaciones aparecen frecuentemente en Cosmología, Matemática Financiera, Teoría de Control y en otras disciplinas. Los sistemas de Lie--Hamilton son sistemas de Lie que admiten algebras de Vessiot--Guldberg de campos vectoriales Hamiltonianos con respecto a una estructura de Poisson. La autora y sus colaboradores probaron que los sistemas de Lie--Hamilton admiten un Hamiltoniano dependiente del tiempo dado por una curva en un álgebra de Lie finito-dimensional de funciones con respecto al corchete de Poisson relacionado con la estructura de Poisson: un álgebra de Lie--Hamilton. Entre los métodos desarrollados para los sistemas de Lie--Hamilton, destaca el método de cálculo de los principios de superposición por coalgebras. Los métodos tradicionales de cálculo de principios de superposición de sistemas de Lie requieren la integración de sistemas de ODEs o PDEs. Debido al interés demostrado en los sistemas de Lie--Hamilton, la autora de esta tesis clasificó todas las álgebras de Lie de Vessiot--Guldberg de campos Hamiltonianos con respecto a una estructura de Poisson en el plano y analizó sus propiedades. Se obtuvieron doce clases diferentes de álgebras de Lie de campos vectoriales Hamiltonianos, no difeomorfas. Adicionalmente, se estudió la estructura de todas las álgebras de Lie--Hamilton asociadas a cada álgebra. A lo largo de esta tesis se darán múltiples nuevos ejemplos de sistemas de Lie sobre diferentes geometrías, que no sólo tienen una gran importancia desde el punto de vista matemático, sino que existen como modelos físicos en la naturaleza. El ejemplo más notable de sistema de Lie compatible con otra estructura geométrica es el de los sistemas de Dirac--Lie. Estos son sistemas que poseen una álgebra de Vessiot--Guldberg de campos Hamiltonianos con respecto a una estructura de Dirac. Como las estructuras de Dirac describen las estructuras de Poisson como casos particulares, los sistemas de Dirac--Lie contienen como caso particular a los sistemas de Lie--Hamilton. El último tipo de geometría analizada y su clasificación, es la geometría de Jacobi. Una variedad de Jacobi es otra generalización de variedad de Poisson. En esta tesis se definieron y estudiaron los denominados sistemas de Jacobi--Lie. La Mecánica de Fluidos modeliza sus problemas hidrodinámicos, principalmente, mediante ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Tales ecuaciones son fundamentalmente no lineales. Una propiedad común a la mayoría de estos modelos es que poseen un régimen de soluciones solitónicas, fuertemente estables y localizadas. El estudio de los solitones y su gran papel en muchos otros campos, como es la óptica Cuántica, la geofísica y maremotos, la Biofísica, etc. ha llevado a la proposición de múltiples teorías que resuelvan las ecuaciones que los contienen. En muchas ocasiones, las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de carácter no lineal, pueden reescribirse equivalentemente como la condición de compatibilidad de un par de Lax. La existencia del par de Lax translada la resolución de la ecuación diferencial a la resolución de un problema de índole Mecánica Cuántica, en que un potencial inicial (perteneciente a la ecuación no lineal). Dicho problema puede tratarse por medio de su par de Lax y encontrar el espectro de valores del problema mecánico cuántico asociado, el cual establece una analogía entre los valores del espectro, con los valores que puede tomar la ecuación no lineal. Una de las maneras más utilizadas para el estudio de ecuaciones diferenciales es el cálculo de Simetrías, iniciada por Sophus Lie en el siglo XIX, y todas sus variantes desarrolladas en las últimas décadas. El método de las simetrías de Lie puede resumirse brevemente en la determinación de una transformación que deje invariante el conjunto de ecuaciones que planteamos. La propiedad de invarianza de una ecuación bajo una transformación implica la posibilidad de reducir el número de variables independientes en uno, por cada cantidad conservada. Un número de simetrías igual al número de variables de la ecuación, nos conduce a su integración hasta reducirla a una ecuación ordinaria. Dada una ecuación ordinaria, una simetría daría lugar a su posible integración completa o en forma de cuadratura. La inspección de simetrías de las ecuaciones ha sido un tema muy tratado por multitud de autores, sin embargo, las simetrías de sus pares de Lax asociados, han sido mucho menos investigadas. Nuestro objetivo es ver cómo se reducen los pares de Lax y en el caso de problemas no isoespectrales, ver si su condición de no isopectralidad se propaga a dimensiones menores Hemos introducido el método no clásico de simetrías de Lie a sistemas de ecuaciones en derivadas parciales de carácter hidrodinámico. Comenzamos con el ejemplo de la ecuación de Bogoyanlevski--Kadomtsev--Petviashvili en 2+1 dimensiones (2+1-BKP a partir de ahora) y su correspondiente par de Lax, de dos componentes en 2+1, de carácter no isoespectral y definido sobre el campo complejo. Hemos aplicado igualmente el cálculo de simetrías de Lie, tanto clásicas como no clásicas, al caso de jerarquías completas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales y sus pares de Lax asociados. En particular, vamos a contemplar dos ejemplos de jerarquías de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, de índole parecida: la llamada jerarquía de Camassa--Holm en 2+1 dimensiones y la jerarquía de Qiao o jerarquía modificada de Camassa--Holm en 2+1 dimensiones (correspondientemente denotadas como CHH(2+1) y Qiao2+1 o mCHH(2+1)). Haremos una descripción exhaustiva de las simetrías no clásicas atendiendo a diferentes valores de las funciones y constantes de integración obtenidas en las simetrías, entre otros factores. Un número de reducciones de interés aparecerán para ambos problemas. Hemos destacado principalmente las reducciones de los pares de Lax correspondientes con tales jerarquías, y hemos comprobado si se transmiten sus caracteres no isoespectrales en una dimensión menor. Las transformaciones recíprocas pueden utilizarse muy convenientemente en el campo de las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. Una transformación recíproca permite convertir una ecuación no integrable en el sentido Painlevé, en otra que sí lo sea. Un buen ejemplo es el de la ecuación de Camassa--Holm (no integrable en el sentido Painlevé), que puede transformarse mediante una transformación recíproca en la ecuación de Calogero-Bogoyanlevskii-Schiff (ecuación de CBS), que sí es integrable en el sentido Painlevé Las transformaciones recíprocas, en una primera aproximación, consisten en el intercambio de papeles entre las variables dependientes e independientes. El resultado buscado por medio de tales transformaciones es obtener versiones más simples o incluso versiones linearizadas de ecuaciones diferenciales no lineales en derivadas parciales Las transformaciones recíprocas, a partir de la experiencia de muchos ejemplos vistos, nos ayudan a la identificación de muchas ecuaciones diferenciales de la literatura de la Física y las Matemáticas. Dos ecuaciones diferentes, aunque a primera vista parezcan no relacionadas, pueden ser dos versiones de una misma ecuación, después de una transformación recíproca. De esta manera, el gran número de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales existente en la literatura puede clasificarse si establecemos un método para discernir cuáles son versiones equivalentes de un mismo problema. En esta tesis hemos propuesto transformaciones recíprocas para la jerarquía de Camassa--Holm CHH(2+1) y la jerarquía de Qiao mCHH(2+1), anteriormente mencionadas. La jerarquía n-componente de CHH(2+1) se transformó en n copias de la ecuación de CBS. De manera similar, construimos la transformación recíproca que nos lleva de la jerarquía $n$-componente mCHH(2+1) a n copias de la ecuación mCBS. Dado un par de Lax para la ecuación mCBS, si invertimos la transformación recíproca, obtendremos el par de Lax de la jerarquía n-componente mCHH(2+1). Además, entre las ecuaciones CBS y mCBS existe una transformación de Miura. Si realizamos una composición de esta transformación de Miura y de las dos transformaciones recíprocas comentadas en líneas anteriores, es posible relacionar las jerarquías CHH(2+1) y mCHH(2+1) dando una expresión entre sus campos y variables independientes.