Métodos computacionales en torno a radicales de submódulos

Resumen

El concepto fundamental en Álgebra Conmutativa es el de ideal primo de un anillo y su análogo en la categoría de módulos viene dado por el concepto de submódulo primo de un módulo, Los submódulos primos han sido estudiados durante estos últimos años y se ha demostrado que pueden exhibir propiedades no esperadas y complicadas. Esto ha estimulado a varios autores a comprobar si los submódulos primos de módulos verifican propiedades análogas a los ideales primos de anillos. En particular, el relevante papel que desempeña el radical de un ideal en la teoría de anillos nos animó a establecer una teoría análoga para el radical de un submódulo de un módulo. Como es bien sabido, el radical de un ideal de un anillo, definido como la intersección de todos los ideales primos del anillo que contienen al ideal, está formado por todos los elementos del anillo que elevados a una potencia entera positiva pertenecen al ideal. Por tanto, si se define el radical de un submódulo como la intersección de todos los submódulos primos del módulo que lo contienen, es natural preguntarse si tendrá una caracterización análoga al caso de anillos. Dentro de esta línea de investigación, el presente trabajo ha logrado los siguientes objetivos: 1. Se ha obtenido una caracterización del radical de un submódulo análoga a la del radical de un ideal. En concreto, se demostró que un elemento de un R-módulo finito generado M pertenece al radical de un submódulo N de M si, y sólo si, está contenido en el radical del álgebra simétrica de M generado por todos los elementos de N. 2. Una vez lograda tal caracterización, se diseñó un método computacional que permitió calcular con ayuda de los sistemas algebraicos de computación el radical de algunos submódulos de módulos libres. 3. Asimismo, se aplicó tal caracterización para obtener resultados teóricos en el ámbito de los submódulos radicales y los ideales jacobianos. 4. En un anillo conmutativo, el radical de un ideal primario es un ideal primo. Por tanto, es lógico preguntarse si el radical de un submódulo primario es un submódulo primo. En general se sabe que la respuesta no siempre es afirmativa. Pues bien, en este trabajo se estableció una condición necesaria y suficiente para que el radical de un submódulo primario sea un submódulo primo. 5. Al igual que antes, una vez obtenida la condición anterior, se construyó un método computacional que nos permitió decidir si algunos submódulos primarios de módulos libres tienen o no radical primo. El interés de estos objetivos viene dado por el hecho de que se ha demostrado durante estos últimos años que son problemas abiertos difíciles de resolver a los que sólo se les había podido dar respuestas parciales.