Traducción entre los sistemas de representación simbólico y verbalun estudio con alumnado que inicia su formación algebraica en secundaria

Zusammenfassung

TÍTULO DE LA TESIS: Traducción entre los sistemas de representación simbólico y verbal: un estudio con alumnado que inicia su formación algebraica en secundaria RESUMEN: En este trabajo nos proponemos como objetivo principal analizar el proceso de traducción de enunciados algebraicos entre los sistemas de representación simbólico y verbal que realizan estudiantes de educación secundaria que están iniciándose en el estudio del álgebra escolar. Con este interés, centramos nuestra atención en varios aspectos: clasificación y análisis de los errores en los que incurren los estudiantes considerados al abordar dichas traducciones, para enunciados algebraicos contextualizados y no contextualizados; las relaciones que establecen entre representaciones equivalentes de un mismo enunciado; y el significado que dan a las letras y signos operacionales contenidos en enunciados expresados mediante simbolismo algebraico. Los estudiantes de educación secundaria se encuentran con numerosas dificultades en el aprendizaje del álgebra (e.g., Arcavi, 1994; Bednarz, Kieran y Lee, 1996; Kaput, 1998, 2000; Küchemann, 1981; MacGregor y Stacey, 1997; Palarea, 1998). Los investigadores citados plantean la problemática existente en la adquisición de dominio y comprensión del simbolismo algebraico y la importancia de analizar las dificultades y los errores en que incurren los estudiantes en el álgebra. Si bien es cierto que algunos aspectos del algebra escolar han ocupado un lugar importante en la investigación, se ha dedicado menor esfuerzo a explorar los procesos de traducción de enunciados algebraicos entre los sistemas de representación simbólico y verbal. El paso del lenguaje verbal al simbólico es abordado en algunas investigaciones centradas en la resolución de problemas (e.g., Clement, 1982; Clement, Lochhead y Monk, 1981), como uno de los pasos iniciales al abordar un problema resoluble algebraicamente. Menor atención ha recibido la traducción del sistema de representación simbólico al verbal, habiendo sido abordada desde estudios que exploran el papel de la escritura verbal en el aprendizaje del álgebra (e.g., MacGregor, 1990; Wollman, 1983). Consideramos que el análisis de los procesos de traducción en los dos sentidos considerados (simbólico-verbal, verbal-simbólico) pueden ser de utilidad para: (a) profundizar en la comprensión que poseen los estudiantes del simbolismo algebraico y ayudar en la exploración de estrategias de enseñanza del álgebra y (b) indagar sobre las dificultades que tienen para escribir simbólicamente aquello que pueden encontrar enunciado de forma verbal. Desglosamos el objetivo principal de esta investigación, recogido inicialmente, en seis objetivos específicos: (1) Identificar y clasificar los errores en que incurren los estudiantes al construir traducciones de enunciados algebraicos no contextualizados entre los sistemas de representación simbólico y verbal; (2) Comparar los errores identificados y sus frecuencias con los identificados en un estudio previo (Rodríguez-Domingo, 2011) realizado con estudiantes que habían concluido el estudio del álgebra escolar correspondiente a la Educación Secundaria Obligatoria (4º ESO); (3) Analizar los errores en los que incurren los estudiantes al construir traducciones de enunciados algebraicos contextualizados entre los sistemas de representación simbólico y verbal; (4) Analizar los errores en los que incurren los estudiantes al elegir traducciones de enunciados al proporcionales enunciados representados mediante simbolismo algebraico y representación verbal; (5) Describir cómo los estudiantes establecen relaciones entre representaciones verbales y simbólicas equivalentes de enunciados algebraicos; y (6) Identificar el significado que los estudiantes dan a las letras y a los signos operacionales al traducir enunciados dados simbólicamente al sistema de representación verbal. Hemos realizado esta investigación con un grupo de 16 estudiantes de 2º de ESO. Para la recogida de datos hemos utilizado dos tipos de instrumentos: pruebas escritas y entrevistas semiestructuradas. Para motivar al alumnado, parte de los instrumentos utilizados se enmarcan en el contexto de un juego, un ¿dominó algebraico¿. El trabajo de campo se compone de cuatro fases en las que el trabajo fundamental del estudiante con enunciados algebraicos ha consistido en la construcción de enunciados no contextualizados y de enunciados contextualizados, y la elección de traducciones de enunciados algebraicos. Utilizamos la siguiente clasificación para los errores en los que incurre este grupo de estudiantes: (I) errores según la completitud del enunciado (incompleto o desmedido); (II) errores derivados de la aritmética (paréntesis, división-multiplicación, potenciación-multiplicación, suma-multiplicación o división-multiplicación); y (III) errores derivados de las características propias del simbolismo algebraico (generalización, particularización, letras o complicación estructural). El análisis cuantitativo de las respuestas a la tarea de construcción de enunciados no contextualizados pone de manifiesto lo siguiente. Cuando los enunciados están en representación verbal, los estudiantes incurren en mayor cantidad de errores que al presentarlos mediante simbolismo algebraico. Dejan en blanco más enunciados correspondientes a los primeros que a los segundos. En la traducción de enunciados de simbolismo algebraico a representación verbal, los errores más frecuentes son debidos a la completitud del enunciado y a las características propias del lenguaje algebraico representando en total más del 90% del total de los errores presentes. En el otro sentido de la traducción, de representación verbal a simbólica, se manifiesta una mayor cantidad de errores, siendo los más frecuentes los debidos a la completitud del enunciado y a las características propias del lenguaje algebraico representando en total también el 90% del total de los errores presentes. Realizada la comparación entre el alumnado de 2º de ESO, que está iniciando su formación algebraica en la escuela, y el alumnado de 4º de ESO, hemos observado, entre otros aspectos, lo siguiente: (a) el alumnado de 4º parece estar más capacitado para realizar traducciones de enunciados algebraicos no contextualizados de simbolismo algebraico a sistema de representación verbal; (b) al presentarles enunciados en representación verbal, ambos grupos incurren en mayor número de errores derivados de las características propias del simbolismo algebraico, en concreto de complicación estructural y letras (tienen tendencia a incluir más letras de las necesarias al abordar este tipo de traducciones); y (c) es necesario trabajar en el aula para eliminar, en la medida de lo posible, la confusión que manifiesta el alumnado en la interpretación de las operaciones potenciación, suma, multiplicación y división. En el análisis realizado en la tarea de construcción de enunciados contextualizados, observamos que los estudiantes de esta investigación presentan mayor número de errores debidos a la completitud del enunciado y al uso de las letras (consideran más de un significado para una misma letra y un mismo significado para distintas letras), construyen enunciados con excesivas explicaciones dando lugar finalmente a enunciados erróneos, y tienden a copiar unos de los otros la manera de construir los enunciados y, por tanto, la interpretación de las letras. El análisis de los errores en los que incurren los estudiantes al elegir traducciones de enunciados al proporcionales enunciados algebraicos representados mediante simbolismo algebraico y representación verbal, informa que: al elegir entre enunciados dados en representación verbal el que corresponde con su representación simbólica, presentan más errores debidos a la completitud del enunciado (construyen enunciados incompletos) y debidos al uso de las letras. Además, la consideración de enunciados contextualizados nos ha permitido observar que el error que se manifiesta como potenciación-multiplicación concurre con confundir perímetro y área, no pudiendo determinar si estos errores se refuerzan entre sí. Además destacamos los siguientes resultados: a) en la construcción de enunciados algebraicos no contextualizados, incurren en más errores cuando los enunciados vienen dados en representación verbal y, al elegir, se manifiestan más errores cuando vienen dados mediante simbolismo algebraico: una gran cantidad de sujetos interpretan las letras de la expresión simbólica dada como un objeto y no como una cantidad desconocida; b) en la construcción de enunciados contextualizados la interpretación que hacen de las letras como objeto induce a enunciados sin sentido en la vida real; y c) muestran dificultades con las operaciones de potenciación y multiplicación, asociadas a confusiones con conceptos geométricos. En general, consideramos que los resultados son de utilidad para profundizar en el conocimiento algebraico de los estudiantes, tanto desde el punto de vista de la investigación como de la docencia. Respecto a la investigación, cabe señalar que se aportan resultados útiles para el desarrollo de investigaciones centradas en la resolución de problemas dados verbalmente, donde es necesario realizar, previamente a su resolución, una traducción del enunciado entre distintos sistemas de representación. Desde el punto de vista de la docencia, es de interés para la elaboración de propuestas didácticas considerando la metodología empleada para la recogida de información y los errores en que los estudiantes incurren. El hecho de que los estudiantes tengan más facilidad al hacer una traducción verbal contextualizada a partir de enunciados simbólico-algebraicos, puede ser aprovechado en el aula para el inicio del estudio del álgebra escolar. Para finalizar, concluimos que con los resultados obtenidos en esta investigación por medio de la clasificación, descripción y comparación de los errores en los que incurren estos estudiantes en la traducción de enunciados algebraicos entre los sistemas de representación verbal y simbólica, aportamos recomendaciones específicas para orientar el desarrollo de la comprensión del simbolismo algebraico. Así mismo, consideramos que presentamos información relevante sobre cómo esta comprensión se pone de manifiesto en los procesos de traducción aquí analizados y cómo va progresando con la experiencia y desarrollo cognitivo de los alumnado. Finalmente presento un resumen de las principales referencias de la bibliografía consultada para la realización de la memoria de esta tesis doctoral. Ambrose, R. y Molina, M. (2014). Spanish/English bilingual students¿ comprehension Ambrose, R. y Molina, M. (2014). Spanish/English bilingual students¿ comprehension of arithmetic story problem texts. 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TITLE: Translation between the symbolic and representation systems: a research with students starting their algebraic training at secondary school ABSTRACT: This study¿s main goal consists in analysing the translation process of algebraic statements between the symbolic and verbal representation systems carried out by students who are starting their algebraic training. Bearing this topic in mind, attention is focused on several aspects: classification and analysis of the errors committed by the students under study when undertaking those translations, for both algebraic statements with and without a context; the relationships established between equivalent representations of the same statement and, finally, the meaning given by those pupils to the letters and operational signs found within statements expressed through algebraic symbolism. Secondary students find numerous difficulties in the learning of algebra (Arcavi, 1994; Bednarz, Kieran and Lee, 1996; Kaput, 1998, 2000; Küchemann, 1981; MacGregor and Stacey, 1997; Palarea, 1998). The mentioned researchers bring up the problems involved in mastering and understanding algebraic symbolism, as well as the importance of analysing the difficulties and errors committed by students of algebra. Acknowledging the fact that the field of ¿algebra in schools¿ has already been much researched, it is also true that a lesser effort has been devoted to exploring the processes of algebraic statement translation between the symbolic and verbal systems. Going from the verbal to the symbolic representation system is dealt with in some studies focused on problem solving (e. g., Clement, 1982; Clement, Lochhead and Monk, 1981), considered as one of the initial steps when facing a problem which can be solved algebraically. Less attention has been laid on the translation from the symbolic to the verbal system, only having been studied in studies devoted to explore the role of verbal writing in algebraic learning (e.g., MacGregor, 1990; Wollman, 1983). We consider that the analysis of translation processes in both senses (symbolic-verbal, verbal-symbolic) can be of used to: a) deepen on the students¿ understanding of algebraic symbolism and help on the exploration of teaching strategies for algebra and b) inquiring into the difficulties students encounter in writing symbolically what is expressed verbally. The main aim of this paper, as stated initially, can be decomposed in six specific goals: (1) Identifying and classifying errors committed by students when translating algebraic statements without a context between the symbolic and verbal representation systems; (2) Comparing the identified errors and their frequency with those mistakes noted in the author¿s previous study (Rodríguez-Domingo, 2011), carried out among students who had already finished their training in algebra in the Spanish Compulsory Secondary Education system (4th ESO, Compulsory Secondary Education in Spain); (3) Analysing errors committed by students when translating algebraic statements with a context between the symbolic and verbal systems; (4) Analysing errors committed by the students when choosing statement translations after they have been provided with statements rendered by algebraic symbolism and verbal representation; (5) Describing the way students establish relationships between equivalent verbal and symbolic representations of algebraic statements; and (6) Identifying the meaning assigned by the students to letters and operational signs when translating statements given symbolically to the verbal representation system. This study has been performed with a group of 16 students attending 2nd ESO. In order to carry out the data collection, two types of instruments have been used: written tests and semi-structured interviews. To motivate the students, part of the instruments used are set in the context of a game, an algebraic domino. The field work was accomplished in four different stages, in which the students¿ main tasks with algebraic statements have been producing statements without and with a context and choosing translations for algebraic statements. We use the following classification for the errors in which this group of students incur: (I) errors due to the completeness of the statement (incomplete or excessive); (II) errors derived of arithmetic (parenthesis, division-multiplication, power-multiplication, addition-multiplication or division-multiplication); and (III) errors derived from the peculiar features of algebraic symbolism (generalization, particularization, letters and structural complication). The quantitative data analysis of the responses to the task of writing statements without a context reveals the following facts. When the statements are verbally represented, students commit more errors than when they are represented by symbols. They are also more likely to not provide any answer to the former that to the latter. In translations of statements from algebraic symbolism to verbal language, the most frequent errors are associated to the completeness of the statement and the peculiar features of algebraic language, representing more than 90% of the total identified errors. However, a higher number of mistakes is found when translating from verbal to symbolic representation. The most frequent ones are also linked to the completeness of the statement and to the peculiar features of algebraic symbolism, which make up more than 90% of the total number of identified mistakes too. After comparing the students of 2nd grade in ESO, who are starting their algebraic training and the pupils of 4th grade in ESO, among others the following conclusions can be reached: (a) the students on the 4th grade seem more able to carry out translations from algebraic statements with no context of algebraic symbolism to a verbal representation system; (b) when they are given verbally represented statements, both groups of students committed more errors caused by the peculiar features of algebraic symbolism, mainly derived from structural complication and letters (they tend to include more letters than needed in this kind of translations) and (c) a necessity arises to work harder at schools in order to eradicate the students¿ confusion when they deal with the operations of exponentiation, addition, multiplication and division. After analysing the task production of statements with a context, it is noted that the students under study commit a higher number of errors related to the completeness of the statement and to the letters, as they give more than one meaning to the same letter and also the same meaning to different letters. These pupils also produce statements with an excessive number of explanations, which leads to wrong statements. They also tend to copy from other classmates the way of producing the statements and, thus, the interpretation of letters. The analysis of the errors committed by students in choosing translations of statements being when provided with algebraic statements represented though algebraic symbolism and verbal representation reveals the following conclusions: when choosing among verbally represented statements the one corresponding to its symbolic representation, they commit more errors related to the completeness of the statements, as they produce incomplete statements, and to letters. Besides, research on statements with a context has revealed that the error expressed as exponentiation-multiplication usually appears together with the error of confusing perimeter and area. Unfortunately, it was not possible to state if the occurrence of these errors reinforce each other or not. In addition, some facts which are worth highlighting are the following ones. When students produce algebraic statements without a context, they commit more errors when those statements are expressed though verbal language and, in choosing, more errors are committed when those statements are expressed though algebraic symbolism. A high number of pupils identifies the letters in the given symbolic expression as an object and not as an unknown quantity. Furthermore, during the production of statements with a context, the identification of letters with objects leads to statements which are meaningless in real life. Finally, students also suffer difficulties with the operations of exponentiation and multiplication, caused by confusions when using geometric concepts. All in all, it is concluded that the information obtained is useful in order to have a deeper understanding of the students¿ algebraic knowledge, both for researchers and teachers. Useful information can be extracted for the development of further research focused on solving verbally given problems, where it is necessary to perform a statement translation among different representation systems prior to the problem solving. For teachers, the information revealed in this study can help in the production of teaching methods thanks to the methodology used for the information collection and the analysis of the most frequent errors committed by students. The fact that students find it easier to carry out a verbal translation with a context from algebraic symbolism can be of great help in the classroom with starters in algebraic training. Finally, it can be concluded that, thanks to the results derived from this research after classifying, describing and comparing errors committed by students when translating algebraic statements between the verbal and symbolic representation systems, specific recommendations are provided in order to improve the development of algebraic symbolism understanding. To the same extent, relevant information is obtained about the way this understanding appears during the translation processes hereby analysed, as well as about how it develops with the experience and cognitive development of the students.