Cuerpos de series generalizadas y cuerpos de Hardy.

Résumé

Gracias al conocido teorema de la inmersión de Kaplansy, los cuerpos de series generalizadas con la valoración dada por la función de orden son, salvo isomorfismo analítico (i,e. que conserva la valoración), los únicos cuerpos valorados maximales. En esta memoria damos una definición de anillos de series generalizadas más general que la clásica y estudiamos con detalle algunas de las propiedades de este objeto. Asimismo justificamos el apelativo de 'generalizadas', probando que contiene a los cuerpos clásicos, y también a otros más modernos, de series formales. Kaplansky, en su versión más general del teorema hace uso de un sistema de factores para corregir la multiplicación de los monomios en el cuerpo de series que construye. Probamos en esta memoria una versión del teorema de Kaplansky para cuerpos residual real o complejo que no hace uso de ningún sistema de factores. Además, gracias a la construcción que hacemos para probar el teorema anterior podemos dar un resultado de construcción por etapas de series generalizadas, usando la composición de valoraciones, generalizando el resultado ya probado por McLane en el caso de valoraciones discretas. El estudio de las propiedades de los cuerpos de Hardy que hace Rosenlicht en sus artículos y la teoría clásica del álgebra diferencial y la teoría de valoraciones nos inspira en la búsqueda de condiciones para una derivación en un cuerpo valorado de cuerpo residual real. Estas condiciones serán: continuidad respecto la topología de la valoración, la condición clásica de L'Hôpital sobre la derivación respecto de la valoración (que Rosenlicht llama condición de valoración diferencial sobre la derivación usual en los cuerpos de Hardy), una condición de buen comportamiento para 'exponentes irracionales' y por último una condición sobre las derivadas logarítmicas. Este tipo de derivaciones sobre cuerpos valorados de cuerpo residual real, junto con definic