Clasificación de sistemas dinámicos lineales 2-dimensionales sobre anillos conmutativos

Resum

En este trabajo se estudia la clasificación de feedback de sistemas dinámicos lineales bidimensionales sobre un anillo conmutativo, Un sistema lineal de dimensión n y m impulsos sobre un anillo conmutativo y unitario R es un par de matrices (F,G) con F E Mnxn(R),G E Mnxm(R). El grupo de feedback es el conjunto de ternas de matrices (P,Q,K):P E G Ln(R), Q E GLm(R),K E Mmxn(R), que opera sobre el conjunto de sistemas de tamaño(n,m) mediante la siguiente acción: (P,Q,K) (F,G)------->(PFP-1+PGK,PGQ) Dos sistemas son equivalentes feedback si están en la misma orbita por la acción anterior, y nos proponemos hallar formas canónicas para la clasificación de sistemas de esta acción. Un sistema (F,G) se denomina accesible si las columnas de la matriz (G,FG,....,Fn-1G) generan Rn. A cada ideal I de anillo R, se le asocia un conjunto S I,lo cual para el caso de un ideal principal I=gR permite determinar un sistema completo de formas canónicas de sistemas (F,G)2-dimensionales y accesibles con matriz G=(1 0 0....0) (*) (0 g 0....0) Si se tiene una factorización I=I1....It,con I1,.....It coprimos dos a dos, el cálculo de S I se reduce al computo de los conjuntos S It. Cuando el anillo R es un dominio de Dedeking, el cálculo anterior se reduce al caso en que I es potencia de un ideal primo , y se determinan condiciones suficientes para asegurar la finitud del número de clases feedback asociadas a un elemento g fijo. Para los casos particulares R=Z y R=R[X], se obtienen de forma explícita todas las formas canónicas de sistemas 2-dimensionales y accesibles. Si R es el anillo de enteros de un cuerpo de números, los conjuntos Sg son finitos( y por lo tanto también el nr.de feedback de sistemas accesibles con matriz G como en (*). Dichos conjuntos se calculan de forma explícita mediante algoritmos. Para caso de anillos de enteros de cuerpos cuadráticos imaginarios se proporciona una tabla con todas las formas canónic