A geometric approach to Lie systemsformalism of Poisson-Hopf deformations

Resumen

La mayoría de los enfoques de los sistemas de Lie se basan en la teoría de las álgebras de Lie y los grupos de Lie. Sin embargo, el éxito de los grupos cuánticos y el formalismo de coálgebra dentro del análisis de sistemas superintegrables, y el hecho de que las álgebras cuánticas aparezcan como deformaciones de las álgebras de Lie sugirieron la posibilidad de ampliar la noción y técnicas de los sistemas de Lie-Hamilton (sistemas LH en resumen) más allá de la teoría de Lie. En esta memoria se propone un enfoque en esta dirección, donde se da un método para construir sistemas de LH deformados mediante el formalismo de coálgebra y álgebras cuánticas. La idea subyacente es utilizar la teoría de los grupos cuánticos para deformar sistemas de Lie y sus estructuras geométricas asociadas. La deformación transforma un sistema LH con su álgebra de Lie de Vessiot-Guldberg en un sistema hamiltoniano cuya dinámica está determinada por un conjunto finito de generadores de una distribución generalizada. Mientras tanto, el álgebra inicial de Lie-Hamilton (álgebra LH en resumen) se identifica con un álgebra de Poisson-Hopf. Las estructuras deformadas permiten la construcción explícita de constantes de movimiento t-independientes mediante técnicas de álgebras cuánticas para el sistema deformado.Esto abarca los siguientes objetivos: desarrollar el formalismo basado en deformaciones de estructuras de Poisson--Hopf, ya que estas estructuras permiten una sistematización adicional que abarca los sistemas LH no equivalentes entre sí, correspondientes a las álgebras isomórficas de LH, y ofrecer un procedimiento general para la obtención de nuevos sistemas LH. Específicamente, se aporta un algoritmo para la consecución de deformaciones sistemas LH, lo cual pone de manifiesto la importancia del formalismo desarrollado. Mostramos que las deformaciones de Poisson-Hopf de los sistemas LH basadas en un álgebra LH isomorfas a sl(2), se pueden describir genéricamente, facilitando así las funciones hamiltonianas deformadas y los campos vectoriales hamiltonianos deformados asociados; una vez estudiado el sistema no deformado. Se proporciona un nuevo método para construir sistemas LH con un álgebra LH isomorfa a un álgebra de Lie fija. Nuestro enfoque se basa en el uso de la foliación simpléctica inducida por el corchete de Kirillov-Konstant-Souriau. Análogamente, se puede generar el único tipo de sistemas LH en el plano admitiendo un álgebra de Lie isomorfa a so(3). Presentamos un procedimiento genérico que nos permite introducir la noción de deformación cuántica de sistemas LH, y basados en la noción de distribuciones involutivas.La estructura de la tesis es la siguiente. Los primeros capítulos están dedicados a la introducción de los principales aspectos de los sistemas LH y las álgebras de Poisson-Hopf. El formalismo general para construir deformaciones del tipo Poisson--Hopf de sistemas de LH se analiza con detalle en el capítulo 3. En el capítulo 4 se presentan la deformaciones de sistemas basados en el álgebra de Lie simple sl(2), ademas de estudiar un enfoque unificado de las deformaciones de los sistemas Poisson-Hopf Lie con un álgebra LH isomorfa a g. Dicho procedimiento se ilustra aplicándolo a las tres clases no difeomorfas de sistemas LH sl(2) en el plano. Durante el capítulo 5 se estudian deformaciones de ecuaciones diferenciales relevantes. Se consideran las deformaciones de la ecuación de Milne-Pinney, de las cuales se derivan nuevos sistemas de tipo oscilatorio con una masa dependiente de la posición. En segundo lugar, se estudian las ecuaciones de Riccati, complejas y acopladas. En el capítulo 6 se considera el problema de las deformaciones de sistemas LH basados en el álgebra del oscilador, con énfasis especial en su estructura como subálgebra de la 2-photon álgebra. Esto permite deducir deformaciones del oscilador armónico amortiguado. Se aplica en el capítulo 8 para proponer un modelo epidemiológico alternativo, un modelo SIS deformado.