Métodos lineales multipaso para ecuaciones íntegro-diferenciales de orden fraccionario en espacios de Banach

Résumé

En esta memoria se consideran ecuaciones de evolución en derivadas paricales, de orden fraccionario 1< a < 2 en tiempo,con un término semilineal, Las ecuaciones se reescriben en su formato integro diferencial y se estudian en un marco abstracto. La parte lineal se supone definida por un operador A que genera un semigrupo holomorfo en un espacio de Banach complejo. Estas ecuaciones exhiben un comportamiento intermedio entre las parabólicas (a=1) e hiperbólicas(a=2). La parte lineal del operador de evolución goza de propiedades regularizantes pareciadas a las de los semigrupo holomorfos, lo que permite tratar la contrapartida semilineal vía técnicas de punto fijo basadas en la fórmula de variación de las constantes. Se completa el estudio del problema continuo en lo que a la regularidad en tiempo de las soluciones se refiere. Para la discretización en tiempo se combina un método lineal multipaso con una adecuada regla de cuadratura fraccionarias del tipo Grünwald-Letnikov. Las técnicas de análisis empleadas son las propias de este tipo de ecuaciones:teorías de semigrupos y operadores, reducción de las soluciones a la búsqueda de un punto fijo, espacios intermedios... Se obtienen cotas del error óptimas para soluciones regulares. Finalmente, para problemas lineales con dato inicial no regular, se estudia la manera de inicializar un método de dos pasos para poder mantener el orden optimo de convergencia. Dicha inicialización resulta ser no trivial.