Análisis histórico de las demostraciones en libros de texto sobre los teoremas de límites y continuidad. De la Ley General de Educación a la Ley Orgánica de Educación

Resumen

El trabajo de investigación que se ha desarrollado en esta tesis doctoral consiste en un análisis longitudinal en el tiempo de libros de texto de matemáticas correspondientes a los últimos cursos de la educación preuniversitaria desde la Ley General de Educación de 1970 a la Ley Orgánica de Educación de 2006. El marco teórico utilizado en el análisis gira en torno a los siguientes elementos: los esquemas de prueba (Harel & Sowder, 1998; Ibañes y Ortega, 2001) y las pruebas preformales (van Asch, 1993; González, 2012) que nos han servido para clasificar las justificaciones que se presentan en los libros de texto en niveles; las funciones de la demostración (Bell, 1976; de Villiers, 1993; Ibañes y Ortega, 2001) con las que hemos analizado las funciones de la demostración que se reflejan en los libros de texto; las técnicas empleadas (Ibañes y Ortega, 1997), que suponen una clasificación desde la perspectiva de la propia matemática; los indicadores de reconocimiento de procesos que presentan los libros de texto, las expresiones utilizadas tanto en el enunciado como en la demostración y otros aspectos globales que no se han tenido en cuenta en las categorías anteriores. El marco metodológico utilizado para organizar el trabajo de investigación resulta de una combinación de otros dos: el método histórico de investigación en educación de Ruiz-Berrio (1976) y la metodología de investigación en Educación de Fox (1981). El primero consta de cinco fases generales y se ha elegido por el carácter histórico que tiene el estudio desarrollado, ya que muchos libros de texto corresponden a legislaciones pasadas que ya no tienen vigor. El segundo se eligió por su detallada descripción de las etapas a seguir en un trabajo de investigación, lo que permite una mejor organización del trabajo. Además, se observó que dichas etapas combinaban y detallaban las acciones a realizar en cada una de las fases del método de Ruiz-Berrio, por lo que se han combinado ambos métodos para dar lugar a una metodología específica para nuestro trabajo. Para acotar el trabajo de investigación, en esta tesis doctoral únicamente se analizan los teoremas relativos a los conceptos de límite funcional y continuidad. Se han analizado 33 libros de texto, correspondientes a los cursos de 2º de BUP y COU de la LGE y 1º y 2º de Bachillerato de LOGSE y LOE. Se ha encontrado que no existen patrones de comportamiento regulares ni asociados a libros de texto ni a legislaciones en cuanto a la presentación, tratamiento y organización de los teoremas y justificaciones asociados a los conceptos descritos. Sin embargo, en los resultados del análisis realizado se puede observar que efectivamente se produce una disminución en el número de teoremas que se enuncian en los libros de texto, en el número de teoremas que se justifican y de los que se justifican, el número de justificaciones que se corresponde con esquemas de prueba de tipo axiomático. Además, en las demostraciones formales se ha observado un descenso de rigor y de formalismo matemático. Por todo ello, se han presentado las líneas generales para una propuesta didáctica de los conceptos de límite y continuidad basadas en el uso de la fundamentación. Como líneas de trabajo futuro queda pendiente extender el trabajo realizado a otros conceptos y a otros niveles educativos.