Álgebras finitas sobre un cuerpo. La recta proyectiva

Resumen

S. Lie propone una geometría de la circunferencia donde elimina la diferencia entre puntos, rectas y circunferencias del plano euclídeo. Un punto es para Lie una circunferencia de radio cero y una recta es una circunferencia de radio infinito, además considera las rectas y las circunferencias dotadas de una orientación. La razón de la orientación es que permite establecer una dualidad punto-línea. Si tomamos tres puntos no alineados, por éstos pasa una única circunferencia no orientada pero para la figura dual, por los tres lados de un triángulo, hay cuatro circunferencias tangentes, se puede corregir esta situación con la orientación, asignando al contacto una condición de compatibilidad que hace que solo una de las cuatro circunferencias sea tangente orientada a las tres rectas añadiendo un punto del infinito común a todas las rectas del plano. El plano de Lie se sumerge en una cuádrica de $\mathbb{P}^4_\R$ asociando a cada ``punto'' las coordenadas pentacíclicas, las coordenadas pentacíclicas de la circunferencia $\Gamma$ de centro $(a,b)$ y radio $r$ (con signo) son $$[\frac{1+p}{2},\frac{1-p}{2},a,b,-r]$$ donde $p$ es la potencia del punto origen respecto de $\Gamma$, las de un punto $(a,b)$ son sus coordenadas como circunferencia de radio cero $[\frac{1+d^2}{2},\frac{1-d^2}{2},a,b,0]$ con $d$ distancia del punto al origen y las de la recta de ecuación $ax+by+c=0$ son $[-c,c,a,b,1]$. La orientación es la del vector $(-b,a)$ que determina el signo de la ecuación. Observe que la recta se obtiene como límite de la circunferencia de centro $(\lambda a,\lambda b)$ y radio $\lambda -c$ (supuesto $(a,b)$ unitario) y que el límite de las coordenadas de las circunferencias dan las coordenadas de la recta. Es inmediato que la imagen de la aplicación que asocia a cada elemento sus coordenadas pentacíclicas es la cuádrica de ecuación $-x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2-x_4^2=0$ y que la condición de contacto es la polaridad respecto de esta cuádrica. Como alternativa a la geometría de Lie, Moebius propone una geometría en la que aparece por una parte puntos, los de $\R^2$, y por otra ciclos, es decir rectas y circunferencias no orientadas. Ahora, vía la proyección estereográfica, los puntos se representan como puntos de la esfera $S^2$, o de la cuádrica de $\mathbb{P}^3_\R$, $-x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ y los ciclos corresponden a las secciones planas de la cuádrica, las rectas corresponden a las secciones por planos que pasan por el centro de la proyección. La geometría de Laguerre considera las ``lanzas'' (rectas orientadas) y las circunferencias orientadas como Lie (incluyendo los puntos) una cadena de base un punto es el conjunto de lanzas por el punto y una cadena de base una circunferencia las tangentes orientadas a ella. De esta forma los puntos son las ``lanzas'' y los ciclos, o bien la cadena de lanzas por un punto, o bien la familia de cadena de lanzas tangentes a una circunferencia. Ésta geometría admite una representación sobre un cilindro por proyección estereográfica. Las dos geometrías planas, Moebius y Laguerre, derivadas de las de Lie admiten un planteamiento común mediante el uso de la recta proyectiva. La recta proyectiva compleja se puede interpretar como la compatificación por un punto de $\R^2$ y los ciclos se reproducen en ella por medio de la razón doble, dados tres puntos $A, B, C$ de $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$, el ciclo que los tiene por base es el conjunto $$[ABC]=\{ X\in\mathbb{P}^1_\mathbb{C} : [A,B;C,X]\in \R \}.$$ Es inmediato que si $A,B,C\in\R^2\equiv \mathbb{C}\subset\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ están alineados en $\R^2$ entonces $[ABC]$ es la recta que pasa por ellos, y si no están alineados y son distintos dos a dos entonces $[ABC]$ es la circunferencia que definen. Entonces la geometría de Moebius es la de $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ con los ciclos y se representan en la esfera. Pues la proyección estereográfica identifica $\mathbb{P}^1_\mathbb{C}$ con $S^2$ y los ciclos con las secciones planas de $S^2$. Para la geometría de Laguerre no sirve la recta proyectiva sobre un cuerpo, luego construimos el anillo de los números duales $\mathbb{D}=\frac{\R[x]}{(x^2)}$ y la recta proyectiva sobre $\mathbb{D}$, $\mathbb{P}^1_\mathbb{D}$, que consiste en el cociente $\mathcal{L}^2_\mathbb{D}/ \sim$ donde $\mathcal{L}^2_\mathbb{D}$ es el conjunto de pares ``complementables'' de elementos de $\mathbb{D}$, es decir pares $(\alpha,\beta)\in\mathbb{D}^2$ tales que existen $a,b\in \mathbb{D}$ con $a\alpha+b\beta$ inversible, y $\sim$ es la relación $(a,b)\sim (c,d)$ si y sólo si existe $\lambda\in \mathbb{D}^*$ tal que $(a,b)=\lambda(c,d)$ entonces $\mathbb{P}^1_\mathbb{D}\supset \mathbb{D}\equiv \R^2$ identificando $\alpha\in \mathbb{D}$ con $[1 \ \alpha]\in\mathbb{P}^1_\mathbb{D}$ y los ciclos $$[A B C ]=\{ D\in\mathbb{P}^1_\mathbb{D} : [A,B;C,D]\in \R \}$$ corresponden a parábolas con eje paralelo a una línea fija y $\mathbb{P}^1_\mathbb{D}$ se proyecta estereográficamente en el cilindro y los ciclos en las secciones planas de éste. Si buscamos un modelo común a ambas geometrías podemos tomar el plano afín real $\mathbb{A}=(X,\R^2,+)$, y considerar en $\mathbb{P}^1_\R=\mathbb{A}_\infty$ cada una de las cónicas no nulas reales, los tres tipos son los de matrices $\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right)$, $\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & -1 \\ \end{array} \right)$, $\left(\begin{array}{cc} 1 &0 \\ 0& 0 \\ \end{array} \right)$. La primera cónica corresponde a los puntos cíclicos del plano $[0 \ 1 \ i]$, $[0 \ 1 \ -i]$ en la inmersión $\mathbb{A}\subset \mathbb{P}^2_\R$ y la tercera al punto $[0 \ 0 \ 1]$. Las cónicas de $\mathbb{A}$ que intersecan en el infinito, las cónicas dadas por la métrica son exactamente los ciclos de Moebius en el primer caso y de Laguerre en el tercero. Para el segundo la cónica de la métrica consta de un par de puntos reales y la cónica que interseca al infinito en ella son las rectas (recta + recta del infinito) y las hipérbolas con asíntotas en la dirección de dichos puntos. La geometría correspondiente se conoce habitualmente como geometría de Minkowski y corresponde a la tercera álgebra de dimensión dos sobre $\R$, los de los números paracomplejos $\mathbb{M}=\frac{\R[x]}{(x^2-1)}$. Así las geometrías clásicas del plano corresponden a las tres extensiones bidimensionales de $\R$, $\R[x]/(x^2-1)$, $\R[x]/(x^2+1)$ y $\R[x]/(x^2)$. Hay trabajos recientes sobre la geometría correspondiente a algunas algebras tridimensionales, y una teoría general muy incompleta. En esta memoria hemos hecho un estudio sistemático de las $K-$álgebras finitas, es decir que son espacios vectoriales de dimensión finita sobre $K$. Todas ellas son suma directa de $K-$álgebras locales finitas y por tanto identificando éstas las conocemos todas. Así hemos clasificado las $\R-$álgebras locales finitas de dimensión real menor que seis ya que probamos que hay infinitas de dimensión seis. Poonen en [24] clasifica las $\mathbb{C}-$álgebras locales finitas hasta dimensión siete, y encuentra que es en ésta dimensión donde hay infinitos modelos, nuestro ejemplo vale también en dimensión seis compleja, por lo cual, en nuestra opinión, el trabajo de Poonen contiene un error en este caso. Una vez estudiado los tipos de $K-$álgebras finitas, estudiamos la geometría de las rectas proyectivas sobre anillos, con un interés especial en la razón doble y las cuaternas armónicas probando un teorema de Staudt para rectas proyectivas sobre anillos totales de cocientes, estructura ésta más general que la de $K-$álgebras finitas. Resulta misterioso como la aplicación $$\begin{array}{llll} \arphi: & \mathbb{P}^1_A & \rightarrow & \mathbb{P}^3_\mathbb{R} \\ & [\an, \bn] & \mapsto & [\an \overline{\an}+\bn \overline{\bn}, \overline{\an}\bn+ \overline{\bn}\an,\delta(\overline{\an}\bn- \overline{\bn}\an),\an\overline{\an}-\overline{\bn}\bn] \end{array}$$ donde $A$ es una $\R-$álgebra de dimensión dos, $\overline{\an}$ es el conjugado de $\an\in A$ y $\delta$ es $i$, $j$ o $\epsilon$ según se trate de los complejos, paracomplejos o duales, verifique que (1) $\varphi(\mathbb{P}^1_A)$ es la cuádrica $-x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2=0$ en el caso complejo, $-x_0^2+x_1^2-x_2^2+x_3^2=0$ en el paracomplejo y $-x_0^2+x_1^2+x_3^2=0$ para el álgebra de los números duales, es decir la cuádrica que se obtiene sumando a la métrica un plano hiperbólico. (2) $\varphi$ lleva ciclos a secciones planas de la cuádrica. Esperamos que si $A$ es una $\R-$álgebra $n-$dimensional se pueda encontrar una aplicación similar $ \varphi: \mathbb{P}^1_A \rightarrow \mathbb{P}^{2n-1}_\mathbb{R} $ que identifique $\mathbb{P}^1_A$ en este espacio. Tenemos la certeza de que no será posible para todas las álgebras ya que el número de todas las álgebras de dimensión $n$ es muy superior al de cuádricas en $\mathbb{P}^{2n-1}_\mathbb{R} $, y nos planteamos para un trabajo futuro caracterizar las álgebras con ésta propiedad. Esta memoria se divide en tres capítulos. En el primer capítulo presentamos algunos resultados relacionados con los anillos totales de cocientes, los $\beta-$anillos y los anillos de Hermite, finalizando con una sección donde comparamos mediante ejemplos éstos anillos. El segundo capítulo contiene resultados generales sobre $K-$álgebras de dimensión finita como $K-$espacios vectoriales. También mostraremos allí una familia infinita de $\R-$álgebras locales de dimensión seis y clasificaremos las $\R-$álgebras de dimensión finita menor que seis. En el capítulo tres estudiamos la recta proyectiva sobre un anillo finalizando con un teorema de Staudt para rectas proyectivas sobre anillos totales de cocientes. Referencias Bibliográficas: [1] Abellanas P.: Geometría básica. Editorial ROMO, S.L. Madrid, 1969. [2] Alonso Garcia M. E., Lombardi H. and Perdry H.: Elementary constructive theory of Henselian local rings. Math. Logic Quarterly 54(3), p. 253--271, 2008. [3] Atiyah M. F. and Macdonald I. G.: Introducción al álgebra conmutativa. Editorial Revert{\'e} S. A. Barcelona, 1980. [4] Arapovic M.: Characterizations of the 0-dimensional rings. Glasnik Matematicki, vol. 18(38), pp.39--46, 1983. [5] Aroca J.M., Fernández M.J.: Geometría proyectiva. Publicaciones Universidad de Valladolid, 2009. [6] Brewer J. and Richman F.: Subrings of zero-dimensional rings. Multiplicative ideal theory in commutative Algebra, Springer pp. 73--88, 2006. [7] Fernández Bermejo E.: Tesis doctoral: Esctructura del grupo simplético sobre un anillo conmutativo. Directores: J.M. Aroca y P. Abellanas, Universidad Complutense de Madrid, Facultad de Matemáticas, 1976. [8] Jech T.: Set theory, The third millenium editions, revised and expanded. Springer Monographs in Matematics, Springer-Verlag, Berlin, 2003. [9] Havlicek H.: From pentacyclic coordinates to chain geometries, and back. Mitt. Math. Ges. Hamburg 26, pp. 75-94, 2007. [10] Havlicek H. and List K.: Three-Dimensional Laguerre geometry and its visualization. In proceedinhs-Dresden Symposium geometry: constructive and kinematic. Institut fur geometrie TU Dresden, Dresden pp. 122-129, 2003. arXiv:1304.0223v1 [math.AG] 31 Mar 2013. [11] van der Kallen W.: The $K_2$ of rings with many units. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) 10, 1977. [12] Kaplansky I.: Elementary divisors and modules. University of Chicago, pp. 464-491, 1948. [13] Lafon J. P.: Algébre commutative langages géométrique et algégrique. Collection enseignement des sciences 24, Herman, Paris, 1977. [14] Lam T. Y.: Serre's conjeture. Springer-Verlag, New York, 1978. [15] Lawton W. M. and Lin Z.: Matrix completion problems in multidimensional systems. Proceedings-IEEE International Symposium on Circuits and Systems, vol. 5 pp. 45-48, 1999. [16] Markova O. V.: Classification of matrix subalgebras of length 1. Journal of Mathematics Sciences 185(3), p. 458-472, 2012. [17] Mazuelas S.: Tesis de doctoral: Interpretación proyectiva de las geometrías métricas, equiformes e inversivas. Director: J.M. Aroca, Universidad de Valladolid, 2008. [18] McDonald B.: Linear algebra over conmutative rings. Marcel Dekker, Inc. New York and Basel, 1984. [19] McDonald B. and Waterhouse W.: Projective modules over rings with many units. Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 83, Nº 3, november 1981. [20] McDonald B.: Projectivities over rings with many units. Communications in algebra, 9(2), 1981. [21] Morales G. M.: Tesis de doctoral: Métricas, compactificaciones y extensiones del cuerpo real. Director: J.M. Aroca, Universidad de Valladolid, 1996. [22] Navarro J. A.: Algebra conmutativa básica. Manuales Unex No 19, Universidad de Extremadura, 1996. [23] Olivert Pellicer J.: Estructuras de álgebra Multilineal. Universitat de València, 1996. [24] Poonen B.: Isomorphism types of commutative algebras of finite rank over an algebraically closed field. In Computational Arithmetic Geometry: AMS Special Session on computational Arithmetic Geometry. April 29-30, 2006, San Francisco State University, 2006. Ed. K. E. Lauter and K. Ribert. Springer 2008. [25] Rao R.: The Vaserstein symbol in dimension two. 2011. [26] Roitman M.: Completing Unimodular Rows to Invertible Matrices. Journal of algebra 49, p. 206-211, 1977. [27] Shores S. and Wiegand R.: Some criteria for Hermite rings and elementary divisor rings. Canadian Journal of Mathematics 6, p. 1380-1383, 1974.