Métodos de linealización para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales

Résumé

En esta Tesis se analizan dos métodos para la resolución de problemas de valores iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias: el método de linealización temporal a trozos y los -métodos linealizados, El primero proporciona soluciones continuas y analíticas a trozos que tienen forma exponencial, lo que puede producir overflow, underflow y un alto coste computacional. Para resolver estos inconvenientes se proponen varias alternativas, entre las que destaca la posibilidad de realizar una linealización parcial de la ecuación original, de forma que el sistema diferencial lineal aproximado sea triangular o diagonal. Los -métodos totalmente linealizados para edo se basan en la aproximación de los términos no lineales del esquema correspondiente a los -métodos clásicos por su polinomio de Taylor de grado uno. Para disminuir su coste computacional se propone realizar la linealización parcial de los términos no lineales. El método de linealización a trozos y los -métodos linealizados se pueden utilizar junto con un método de shooting para resolver problemas de contorno en edo's, pero pueden surgir problemas de estabilidad asociados al shooting. Otra opción es resolver formalmente en cada trozo la ecuación diferencial lineal correspondiente e imponer a su solución que sea continua (método C0) o continua y derivable (método C1) en todo el intervalo de definición del problema. Estos métodos determinan un esquema en diferencias finitas de tipo exponencial que sólo utiliza tres puntos de la malla, pueden resultar caros computacionalmente pero proporcionan expresiones analíticas de la aproximación a la solución del problema de contorno. La aplicación de los métodos de linealización a la resolución de problemas en ecuaciones en derivadas parciales de tipo reacción-difusión-convección se realiza utilizando previamente métodos de semidiscretización en tiempo o espacio junto con técnicas de facto