Móduli de fibrados principales y teoría algebraica de solitones

Résumé

En la presente memoria se aborda el problema de móduli de G-fibrados principales sobre una curva algebraica lisa y proyectiva definida sobre un cuerpo K algebraicamente cerrado de característica cero, siendo G un grupo algebraico linealmente semisimple. El problema de móduli fino se plantea en la categoría de esquemas sobre K, por lo que se desarrolla una teoría de fibrados principales en general, sin asumir condiciones de noetherianidad, cuasi-separabilidad o cuasi-compacidad sobre los esquemas considerados. Así mismo, se prueba la correspondencia functorial de Serre entre el grupoide de G-fibrados principales y el grupoide de G-reducciones en este contexto más general. Debido a la existencia de automorfismos no triviales de fibrados principales, se rigidifica el problema de móduli. Para ello, se introducen las nociones de fibrado principal sobre un esquema formal, y de trivialización formal de un fibrado principal. Se prueba que la correspondencia de Serre es compatible al considerar las parejas formadas por un fibrado principal y una trivialización formal del mismo. Finalmente, se demuestra la existencia de un esquema parametrizando las anteriores parejas, utilizando la Grassmanniana infinita. Posteriormente, se estudia la relación entre el esquema construido y el stack de fibrados principales. Se prueba la existencia de una acción canónica del grupo de lazos positivos de G en el espacio de móduli obtenido. Considerando en la categoría de K-esquemas la topología étale, se demuestra, que el stack de fibrados principales sobre la curva, es canónicamente isomorfo al stack cociente del móduli de fibrados principales con trivialización formal por la acción del grupo de lazos positivos de G. La primera parte de la memoria finaliza con el cómputo del espacio tangente al móduli de fibrados principales con trivialización formal en un un punto racional. En la segunda parte del trabajo se introduce la noción de álgebra graduada parcialmente generada. Se prueba la existencia de una inmersión canónica del espectro de un álgebra graduada parcialmente generada en un fibrado proyectivo, describiendo dicha inmersión explícitamente. A partir del estudio de las propiedades de las álgebras graduadas parcialmente generadas, se generaliza un teorema clásico de Nagata, relativo a la estructura de ciertas álgebras de invariantes por la acción de un grupo reductivo. Como aplicación, para el caso de los grupos algebraicos linealmente semisimples clásicos, se obtiene una inmersión canónica del espacio de móduli de fibrados principales con trivialización formal en el esquema de secciones de un fibrado proyectivo.