The postprocessed mixed finite element method for the navier-stokes equations

Abstract

La técnica del postproceso surgió en conexión con el llamado "Método Galerkin No-Lineal" (NGM); un conjunto de esquemas numéricos que utilizan la idea de la Variedad Inercial Aproximada (AIM) y mejoran el orden de convergencia de los Métodos Galerkin estándar. Los métodos postprocesados también mejoran el orden de convergencia de los Métodos Galerkin estándar y además son más eficientes que los Algoritmos No-Lineales. La técnica del postproceso ha sido aplicada con éxito a multitud de métodos galerkin para ecuaciones en derivadas parciales disipativas. En este trabajo, se extiende la técnica del postproceso al Método de Elementos Finitos Mixtos (MFEM) para las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones modelan la evolución del campo de velocidades y de la presión de un fluido viscoso, suponiendo que el fluido es homogéneo e incompresible. El Método de Elementos Finitos Mixtos (MFEM) postprocesado puede considerarse como un método a dos niveles. En el primer nivel, se calcula la aproximación por MFE a la solución del problema de Navier-Stokes. Esta resulta ser la parte más costosa del método postprocesado, pues involucra la integración temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes. En un segundo nivel, se postprocesa esta aproximación obtenida; calculando la aproximación por MFE de un problema de Stokes. La aproximación se lleva a cabo usando un elemento mixto más preciso que el empleado en el primer nivel del método. Como resultado se obtiene un método que no sólo mejora la precisión de la aproximación, sino que además aumenta la eficiencia del MFEM: * La mejora en la precisión se obtiene gracias al aumento en el orden de convergencia de las aproximaciones de la velocidad y la presión. * La mejora en la eficiencia se obtiene debido a que le postproceso sólo requiere la aproximación de un problema de Stokes, una vez que la integración temporal se ha completado. En este trabajo se ha desa