Compatibilidad del principio de óptimo de Bellman con los métodos secuenciales de optimización de redes de tuberías

Resumen

En el proceso de cálculo de redes de tuberías se maneja un conjunto de variables con unas características muy peculiares, ya que son discretas y estandarizadas. Por lo tanto su evolución se produce por escalones (la presión nominal, el diámetro y el costo de los tubos). Por otro lado la presión de diseño de la red es una función directa de la presión de cabecera. En el proceso de optimización mediante programación dinámica la presión de cabecera se va reduciendo gradualmente en cada secuencia del proceso, haciendo que evolucione a la par la presión de diseño, lo que genera a su vez saltos discriminados en la presión nominal de los tramos, y con ello en su costo y en su gradiente de cambio. En esta tesis doctoral se analiza si estos cambios discriminados que se producen en el gradiente de cambio de algunos tramos en el curso de una secuencia, ocasionados por la evolución de la presión de cabecera de la red, generan interferencias que alteran el proceso secuencial de la programación dinámica. La modificación del gradiente de cambio durante el transcurso de una secuencia se conoce con el nombre de mutación, la cual puede ser activa cuando involucra a un tramo optimo modificando las condiciones de la transacción o pasiva si no crea afección alguna. En el análisis realizado se distingue entre la mutación del gradiente de cambio de los tramos óptimos (que puede generarse exclusivamente en el conjunto de los trayectos que los albergan), y entre los efectos que el cambio de timbraje produce en el resto de los tramos de la red (incluso los situados aguas abajo de los nudos con holgura de presión nula) sobre el mecanismo iterativo, estudiando la compatibilidad de este fenómeno con el principio de óptimo de Bellman. En el proceso de investigación llevado a cabo se destaca la fortaleza que da al proceso secuencial del método Granados el hecho de que el gradiente de cambio siempre sea creciente en el avance hacia el óptimo, es decir que el costo marginal de la reducción de las pérdidas de carga de la red que se consigue en una iteración siempre sea más caro que el de la iteración precedente. Asimismo, en el estudio realizado se revisan los condicionantes impuestos al proceso de optimización, incluyendo algunos que hasta ahora no se han tenido en cuenta en los estudios de investigación, pero que están totalmente integrados en la ingeniería práctica, como es la disposición telescópica de las redes (reordenación de los diámetros de mayor a menor de cabeza a cola de la red), y la disposición de un único diámetro por tramo, en lugar de que estén compartidos por dos diámetros contiguos (con sus salvedades en caso de tramos de gran longitud, o en otras situaciones muy específicas). Finalmente se incluye un capítulo con las conclusiones, aportaciones y recomendaciones, las cuales se consideran de gran utilidad para la ingeniería práctica, entre las que se destaca la perfección del método secuencial, la escasa transcendencia de las mutaciones del gradiente de cambio y la forma en que pueden obviarse, la inocuidad de las mutaciones pasivas y el cumplimiento del principio de Bellman en todo el proceso de optimización. The sizing process of a water distribution network is based on several variables, being some of them special, as they are discrete and their values are standardized: pipe pressure rating, pipe diameter and pipe cost. On another note, the sizing process is directly related with the pressure at the network head. Given that during the optimization by means of the Granados’ Method (based on dynamic programming) the pressure at the network head is being gradually reduced, a jump from one pipe pressure rating to another may arise during the sequential process, leading to changes on the pipe cost and on the gradient change (unitary cost for reducing the head losses). This chain of changes may, in turn, affect the sequential process diverting it from an optimal policies path. This thesis analyses how the abovementioned alterations could influence the results of the dynamic programming algorithm, that is to say the compatibility with the Bellman’s Principle of Optimality, which states that the sequence has to follow a route of optimal policies, and that past decisions should not influence the remaining ones. The modification of the gradient change is known as mutation. Mutations are active when they affect the optimal link (the one which was selected to be changed during iteration) or passive when they do not alter the selection of the optimal link. The thesis analysed the potential mutations processes along the network, both on the optimal paths and also on the rest of the network, and its influence on the final results. Moreover, the investigation analysed the practical restrictions of the sizing process that are fully integrated in the applied engineering, but not always taken into account by the optimization tools. As the telescopic distribution of the diameters (i.e. larger diameters are placed at the network head) and the use of a unique diameter per link (with the exception of very large links, where two consecutive diameters may be placed). Conclusions regarding robustness of the dynamic programming algorithm are given. The sequence of the Granados Method is quite robust and it has been shown capable to auto-correct the mutations that could arise during the optimization process, and to achieve an optimal distribution even when the Bellman’s Principle of Optimality is not fully accomplished. The fact that the gradient change is always increasing during the optimization (that is to say, the marginal cost of reducing head losses is always increasing), provides robustness to the algorithm, as looping are avoided in the optimization sequence. Additionally, insight into the causes of the mutation process is provided and practical rules to avoid it are given, improving the current definition and utilization of the Granados’ Method.