Grupo fundamental étale de espacios esquemáticos

Résumé

El problema de partida que se aborda en esta tesis doctoral es extender la construcción del grupo fundamental étale, un objeto clásico de la teoría de esquemas, a espacios esquemáticos finitos. Para alcanzar este objetivo, se dedica buena parte del trabajo a realizar un estudio sistemático de estos espacios. Los espacios esquemáticos finitos son la subcategoría de posets (conjuntos parcialmente ordenados) anillados finitos que presenta un comportamiento análogo a la de esquemas cuasicompactos y cuasiseparados respecto a las categorías de módulos cuasicoherentes. Pueden emplearse para estudiar dichos esquemas gracias a la construcción de modelos finitos de estos, pero además representan otros espacios localmente anillados más generales. Destaca que diferentes espacios esquemáticos pueden modelar o representar espacios localmente anillados isomorfos, lo cual definirá una localización de la categoría esquemática cuyo tratamiento requerirá lidiar con diversas patologías. La primera parte del trabajo se dedica a crear un lenguaje general en que tratar con estos espacios esquemáticos y con invariantes definidos sobre ellos, entre otros motivos para tratar problemas de descenso en diversos puntos de la memoria. Se introduce para ello, para cualquier 1-categoría o 2-categoría estricta C, la categoría de C-datos: posets finitos con un functor estructural a valores en C; y se estudian sus propiedades 1-categoriales y 2-categoriales. Destaca la descripción explícita del colímite laxo de C-datos indexados por posets, que denominamos "cilindro" y jugará un importante papel en la memoria. La segunda parte estudia sistemáticamente los espacios esquemáticos en un espíritu análogo al de la teoría de esquemas. Entre muchas otras técnicas, destacan nuevas caracterizaciones de estos objetos, el estudio de su topología natural y el topos que produce (la topología de las inmersiones planas), así como la especialización de la construcción de los cilindros de C-datos a este caso; la definición de ciertos "retractos" (subcategorías reflexivas estables por la localización natural) de espacios esquemáticos que permiten rigidificar, sin pérdida de generalidad, ciertas propiedades "geométricas" para que tengan un reflejo combinatorio; o el amplio estudio de diversas clases de morfismos y espacios esquemáticos que extienden o generalizan otras homónimas del lenguaje de esquemas, probándose los resultados más importantes para ellas. En la tercera parte se aborda la construcción de la categoría de revestimientos finitos étale de un espacio esquemático a partir de las técnicas introducidas en la parte previa y se prueba que, dotada de functores fibra adecuados, es una categoría de Galois. Además, si el espacio esquemático base es modelo finito de un esquema, esta categoría es equivalente a la homónima del esquema de partida y, por tanto, permite recuperar su grupo fundamental étale. Para completar la memoria, se prueban las generalizaciones de dos resultados fundamentales de la teoría clásica: la sucesión exacta de homotopía, haciendo fuerte uso de la teoría de morfismos propios que se desarrolla en la parte previa; y el teorema de Seifert-Van Kampen en su versión más general, probado mediante técnicas abstractas de descenso facilitadas por las estructuras 2-categoriales que se estudian en la primera parte de la memoria. Ambos resultados, no solo son válidos para nuevos espacios, sino que generalizan los resultados conocidos cuando nos restringimos a esquemas. Se incluyen además diversos apéndices para completar la exposición o indicar posibles continuaciones para la investigación desarrollada en la tesis. Destacan en importancia y novedad el desarrollo teoría de proesquemas (los espacios localmente anillados modelados por espacios esquemáticos en completa generalidad) y el estudio sistemático de los epimorfismos planos de anillos (versión algebraica de la topología de las inmersiones planas).