Subvariedades espaciales a través de hipersuperficies luz en variedades de Lorentz

Resumen

Desde que Einstein formalizó la extensión del espacio-tiempo de Minkowski a una variedad curva de Lorentz para modelar campos gravitatorios no nulos, la geometría lorentziana ha servido como el marco matemático fundamental para expresar la Relatividad General. Inicialmente, su estudio era predominantemente local, ya que investigaciones globales en geometría lorentziana parecían innecesarias para describir nuestro Universo inmediato. Sin embargo, a partir de la década de 1970, los progresos en las Teorías de Causalidad y Singularidad, impulsados principalmente por las contribuciones de Hawking, Penrose, Geroch, entre otros, han conducido a la reconocida necesidad de desarrollar nuevas metodologías para realizar análisis exhaustivos de los modelos cosmológicos. Estos avances impulsaron significativamente la progresión contemporánea de la geometría lorentziana global, produciendo resultados con interpretaciones físicas inesperadas. Además, es importante destacar que la exploración puramente geométrica de las variedades lorentzianas ha generado interés en numerosos estudios recientes, estableciéndose como una rama de la Geometría Diferencial caracterizada por problemas no exclusivamente originados en la Física y carentes de aplicaciones directas en ella. Esencialmente, un tensor métrico lorentziano en una variedad (diferenciable) define una estructura de conos tangentes, que nos permiten clasificar los vectores tangentes en tres tipos: temporales, luminosos y espaciales. Esto se conoce como su carácter causal. En consecuencia, una curva en la variedad se clasifica como temporal, luminosa o espacial si sus vectores tangentes exhiben consistentemente el carácter causal correspondiente. La idea clave de la Relatividad General consiste en conceptualizar la gravedad como un efecto producido por la curvatura del espacio-tiempo. De esta manera, las partículas materiales (luminosas, respectivamente) en “caída libre” serían geodésicas temporales (luminosas, respectivamente) del tensor métrico lorentziano. Recordemos la noción de estructura conforme en signatura semi-riemanniana. Una estructura conforme semi-riemanniana (M, c) es el par formado por una variedad M y una clase de equivalencia c de métricas semi-riemannianas en M, donde dos métricas están en c si difieren por un factor que es una función diferenciable positiva en la variedad M. A menos que se indique lo contrario, M es una variedad de dimensión n ≥ 2. La estructura de conos es un invariante conforme en la geometría lorentziana. Weyl introdujo las estructuras conformes (en signatura lorentziana) para formular una teoría unificada de campos. Weyl escribió “Para derivar los valores de las cantidades gik a partir de fenómenos observados directamente, usamos señales de luz... Observando la llegada de la luz en los puntos vecinos a O podemos determinar las razones de los valores de los gik... Sin embargo, es imposible derivar más resultados a partir del fenómeno de la propagación de la luz...” [67, Cap. 4]. Se pueden encontrar más detalles sobre la teoría deWeyl y las ideas físicas detrás de ella en los textos clásicos [29], [10] y [57], mientras que una exposición elemental de la misma está disponible en [1]. En esta tesis, nos centraremos en dos temas aparentemente no relacionados que, tras un examen más detenido, revelan conexiones profundas en las que creemos contribuir a su clarificación y comprensión mejorada. Estos son la geometría lorentziana y la geometría conforme riemanniana. Aunque a primera vista estos dos temas pueden parecer no relacionados, se sabe que han estado conectados desde los tiempos de Cartan, quien introdujo la noción de “espacio generalizado” para construir un puente entre la geometría en el sentido del programa de Erlangen de Felix Klein y la Geometría Diferencial. En el programa de Erlangen, una geometría se da mediante una variedad dotada de una acción transitiva de un grupo de Lie, y así por un espacio homogéneo G/H de un grupo de Lie G. Klein consideraba G/H dotado de la geometría cuyo grupo de automorfismos era G. La idea de Cartan fue asociar a dicho espacio homogéneo una estructura geométrica diferencial, cuyos objetos pueden pensarse como análogos curvos del espacio homogéneo G/H, al igual que las variedades riemannianas pueden pensarse como análogos curvos del espacio euclidiano. En terminología moderna, tales estructuras se llaman geometrías de Cartan, y se definen como fibrados principales dotados de conexiones de Cartan, véase la Definición 3.1. El espacio homogéneo G/H se denomina el modelo homogéneo de la geometría de Cartan. Un estudio exhaustivo de varios ejemplos básicos de geometrías de Cartan se puede encontrar en el libro [62]. Para Cartan, las estructuras conformes riemannianas n-dimensionales pueden considerarse como análogos curvos del espacio de rayos en el cono de luz futuro del espacio-tiempo de Minkowski Ln+2 visto como un subconjunto en el espacio proyectivo RPn+1. Notemos que este espacio de rayos es topológicamente la esfera Sn. Aquí, el grupo ortocrono O+(1, n + 1) actúa como el grupo de transformaciones conformes globales de Sn con respecto a la clase conforme que contiene la métrica redonda canónica. Denotaremos esta clase conforme por c0. En este contexto, el par (Sn, c0) es denominado el espacio de Möbius. Las geometrías de Cartan que surgen al deformar el espacio de Möbius se conocen como geometrías de Möbius, véase la Definición 3.5. Las geometrías de Cartan se han utilizado también para investigar otros tipos de geometrías. Por ejemplo, [53] está dedicado al estudio de las variedades luminosas vistas como análogos curvos del cono de luz futuro de Ln+2. Recordemos que una variedad luminosa no es más que una variedad dotada con un tensor métrico degenerado, consulte la Sección 2.2. Queremos enfatizar que las ideas de Cartan jugaron un papel significativo en el trabajo de Einstein desarrollando la Relatividad General. Adjuntamos un fragmento de una carta escrita por Cartan y dirigida a Einstein donde se puede ver cómo compartían correspondencia e ideas: «En tus artículos recientes en los Sitzungsberichte dedicados a una nueva teoría de la relatividad generalizada, introdujiste la noción de “Fernparallelismus” en un espacio riemanniano. Ahora bien, la noción de espacio riemanniano dotado de un Fernparallelismus es un caso especial de una noción más general, la de espacio con una conexión euclidiana, que esbozé brevemente en 1922 en un artículo en los Comptes Rendus (vol. 174, pp. 593-595), publicado cuando impartías tus conferencias en el Collège de France; incluso recuerdo que intenté, en casa del Sr. Hadamard, darte el ejemplo más simple de un espacio riemanniano con Fernparallelismus al considerar dos vectores dentro de una esfera que forman el mismo ángulo con las líneas meridianas que pasan por sus orígenes como paralelos: las geodésicas correspondientes son las líneas de rumbo. Este ejemplo se cita en un artículo: “Sur les récentes généralisations de la notion d’espace” (Bull. Sciences math. 48, 1924, pp. 294-320). » En este pasaje, se puede leer cómo Cartan le dijo a Einstein que la noción de “Fernparallelismus” era un caso particular de una teoría mucho más general de conexiones que él mismo había desarrollado. La carta completa se puede leer en [26]. Uno de los objetivos principales y el hilo conductor de esta tesis será proporcionar un enfoque novedoso para estudiar y relacionar la geometría lorentziana y la geometría conforme riemanniana. Para ser precisos, vamos a utilizar inmersiones espaciales que factorizan a través de ciertas hipersuperficies luminosas embebidas en variedades lorentzianas. Además de este propósito, estudiaremos estos tipos de inmersiones porque son de interés desde la perspectiva de la teoría de subvariedades. Como es bien sabido, las hipersuperficies luminosas heredan una métrica degenerada de la métrica lorentziana ambiente y desempeñan un papel importante en la Relatividad General como horizontes de sucesos de agujeros negros [33]. La teoría clásica de subvariedades falla para estas hipersuperficies ya que el fibrado normal de tales hipersuperficies está contenido en su fibrado tangente. Creemos que el estudio de inmersiones espaciales de codimensión dos que factorizan a través de una hipersuperficie luminosa puede proporcionar una herramienta para comprender la geometría de tales hipersuperficies y también servir para profundizar en nuestra comprensión de las propias inmersiones. El estudio de inmersiones espaciales de codimensión dos en hipersuperficies luminosas se ha desarrollado previamente en [52], [55] y [56] para el caso de inmersiones compactas en el cono de luz del espacio-tiempo de Minkowski. El caso no compacto se considera en [4] y el estudio de inmersiones atrapadas en hipersuperficies luminosas del espacio-tiempo de de-Sitter aparece en [3]. Este enfoque también se ha aplicado a los espacio-tiempos de Brinkmann. Recordemos que los espaciotiempos de Brinkmann admiten un campo de vectores luminosos paralelo y entonces, admiten una foliación por hipersuperficies luminosas. Las inmersiones espaciales que se encuentran en tales hipersuperficies se han estudiado en [16] para el caso compacto y en [54] para casos más generales. También será crucial para nosotros abordar la geometría conforme riemanniana a través de las geometrías de Cartan, las cuales proporcionan herramientas poderosas para reinterpretar la geometría conforme. Uno de los hitos principales en esta tesis será reconstruir tales geometrías de Cartan a partir de inmersiones espaciales. Esta metodología se examinará con detalle en el Capítulo 5. En los Capítulos 2 y 3, introduciremos las nociones necesarias sobre geometría lorentziana, conforme y de Cartan para entender esta nueva perspectiva. El Capítulo 4 está dedicado enteramente al estudio de inmersiones espaciales en una cierta familia de espacio-tiempos. Este capítulo tiene un interés intrínseco desde la perspectiva de la teoría de subvariedades, pero además también tiene aplicaciones en el estudio de las relaciones entre la geometría lorentziana y la geometría conforme. Finalmente, en el Capítulo 6, continuaremos estudiando las relaciones entre ambas geometrías utilizando para ello una versión debilitada de la construcción de variedades ambiente para estructuras conformes riemannianas dada por Fefferman y Graham, ver [31]. Para llevar a cabo tal construcción, es necesario enfatizar que el espacio total Q del fibrado de escalas de una estructura conforme riemanniana admite naturalmente una métrica degenerada, llamada tensor tautológico, que denotaremos por¯ h, ver Sección 6.1. Con esto en mente, la construcción de una variedad ambiente esencialmente implica extender localmente la variedad luminosa (Q,¯h) en una variedad lorentziana que la admita como una hipersuperficie luminosa.